Cours de mathématiques : Amortissement d' un emprunt par annuités
Pour plus de clarté, nous traiterons le problème suivant.
Une ville emprunte 185000€ qu 'elle doit rembourser en 5 paiements annuels égaux, dont le premier aura lieu un an après l' emprunt, le taux de l' intérêt étant 4,50%. Quelle est la somme à payer chaque année ?
L' intérêt de 1€ au bout de 1 an étant de 0,045€, un capital de 1€ prend une valeur égale à 1,045 €.
Au bout de la première année, la valeur acquise par le capital, que nous nommerons C1 est égal à au capital emprunté, que nous nommerons C, multiplié par 1,045 auquel il faut retrancher l' annuité, que nous nommerons a, soit :
C1 = C × 1,045 - a.
Au bout de la deuxième année, la valeur acquise par le capital, que nous nommerons C2 est égal à C1 multiplié par 1,045 auquel il faut retrancher l' annuité a, soit :
C2 = C1 × 1,045 - a.
Et donc en remplaçant C1 par (C × 1,045 - a),
C2 = ( C × 1,045 - a ) × 1,045 - a
C2 = C × 1,0452 - a × 1,045 - a.
Au bout de la troisième années, on peut établir que C3 est égale à,
C3 = C × 1,0453 - a × 1,0452 - a × 1,045 - a.
Au bout de la quatrième années, on peut établir que C4 est égale à,
C4 = C × 1,0454 - a × 1,0453 - a × 1,0452 - a × 1,045 - a.
Au bout de la cinquième année, nous aurions,
C4 = C × 1,0455 - a × 1,0454 - a × 1,0453 - a × 1,0452 - a × 1,045 - a
sauf que le capital restant du au bout de la cinquième année, doit être égale à 0.
Nous obtenons donc,
C × 1,0455 - a × 1,0454 - a × 1,0453 - a × 1,0452 - a × 1,045 - a = 0.
Ou encore, en mettant en facteur l' annuité a,
C × 1,0455 - a ( 1,0454 + 1,0453 + 1,0452+ 1,045 + 1 ) = 0.
Le facteur ( 1,0454 + 1,0453 + 1,0452+ 1,045 + 1 ) est la somme des termes d' une suite ( ou progression ) géométrique, dont la raison est 1,045; cette somme est égale à :
( 1,0455 -1 ) / ( 1,045 - 1 ) ou ( 1,0455 - 1 ) / 0,045.
On a donc l' équation,
C × 1,0455 - a ( 1,0455 - 1 ) / 0,045 = 0.
De là on tire,
a = C × 1,0455 / [ ( 1,0455 - 1 ) / 0,045 ]
ou
a = C × 0,045 × 1,0455 / ( 1,0455 - 1 ).
Soit pour notre exemple,
a = 185 000 × 0,045 × 1,0455 / ( 1,0455 - 1 )
a = .
Formule de l' annuité
Si on désigne par a l' annuité, par C le capital emprunté, r le taux annuel par € et n le nombre des années, on aura la formule générale de l' annuité :
a = C × r × ( 1 + r )n / [ ( 1 + r )n - 1 ]
ou encore :
.