Amortissement d'un emprunt par annuités

Pour plus de clarté, nous traiterons le problème suivant :

Une ville emprunte 185 000 € qu'elle doit rembourser en 5 paiements annuels égaux, dont le premier aura lieu un an après l'emprunt, le taux de l'intérêt étant de 4,50 %. Quelle est la somme à payer chaque année ?

L'intérêt de 1 € au bout de 1 an étant de 0,045 €, un capital de 1 € prend une valeur égale à 1,045 €.

Au bout de la première année, la valeur acquise par le capital, que nous nommerons C₁, est égale au capital emprunté, que nous nommerons C, multiplié par 1,045 auquel il faut retrancher l'annuité, que nous nommerons a, soit :

C₁ = C × 1,045 − a.

Au bout de la deuxième année, la valeur acquise par le capital, que nous nommerons C₂, est égale à C₁ multiplié par 1,045 auquel il faut retrancher l'annuité a, soit :

C₂ = C₁ × 1,045 − a.

Et donc en remplaçant C₁ par (C × 1,045 − a) :

C₂ = (C × 1,045 − a) × 1,045 − a ;

C₂ = C × 1,045² − a × 1,045 − a.

Au bout de la troisième année, on peut établir que C₃ est égale à :

C₃ = C × 1,045³ − a × 1,045² − a × 1,045 − a.

Au bout de la quatrième année, on peut établir que C₄ est égale à :

C₄ = C × 1,045⁴ − a × 1,045³ − a × 1,045² − a × 1,045 − a.

Au bout de la cinquième année, nous aurions :

C₅ = C × 1,045⁵ − a × 1,045⁴ − a × 1,045³ − a × 1,045² − a × 1,045 − a ;

sauf que le capital restant dû au bout de la cinquième année doit être égal à 0.

Nous obtenons donc :

C × 1,045⁵ − a × 1,045⁴ − a × 1,045³ − a × 1,045² − a × 1,045 − a = 0.

Ou encore, en mettant en facteur l'annuité a :

C × 1,045⁵ − a (1,045⁴ + 1,045³ + 1,045² + 1,045 + 1) = 0.

Le facteur (1,045⁴ + 1,045³ + 1,045² + 1,045 + 1) est la somme des termes d'une suite (ou progression) géométrique, dont la raison est 1,045 ; cette somme est égale à :

(1,045⁵ − 1) / (1,045 − 1) ou (1,045⁵ − 1) / 0,045.

On a donc l'équation :

C × 1,045⁵ − a (1,045⁵ − 1) / 0,045 = 0.

De là on tire :

a = C × 1,045⁵ / [ (1,045⁵ − 1) / 0,045 ] ;

ou

a = C × 0,045 × 1,045⁵ / (1,045⁵ − 1).

Soit pour notre exemple :

a = 185 000 × 0,045 × 1,045⁵ / (1,045⁵ − 1) ;

a ≈ 42 141,45 euros.

Formule de l'annuité

Si on désigne par $a$ l'annuité, par $C$ le capital emprunté, $r$ le taux annuel par € et $n$ le nombre des années, on aura la formule générale de l'annuité :

$a$ = $C\times r\times \frac{{\left(1+r\right)}^n}{{\left(1+r\right)}^n-1}$.