Cours de mathématiques : Amortissement d' un emprunt par annuités

Pour plus de clarté, nous traiterons le problème suivant.

Une ville emprunte 185000€ qu 'elle doit rembourser en 5 paiements annuels égaux, dont le premier aura lieu un an après l' emprunt, le taux de l' intérêt étant 4,50%. Quelle est la somme à payer chaque année ?

L' intérêt de 1€ au bout de 1 an étant de 0,045€, un capital de 1€ prend une valeur égale à 1,045 €.

Au bout de la première année, la valeur acquise par le capital, que nous nommerons C₁ est égal à au capital emprunté, que nous nommerons C, multiplié par 1,045 auquel il faut retrancher l' annuité, que nous nommerons a, soit :

C₁ = C × 1,045 - a.

Au bout de la deuxième année, la valeur acquise par le capital, que nous nommerons C₂ est égal à C₁ multiplié par 1,045 auquel il faut retrancher l' annuité a, soit :

C₂ = C₁ × 1,045 - a.

Et donc en remplaçant C₁ par (C × 1,045 - a),

C₂ = ( C × 1,045 - a ) × 1,045 - a

C₂ = C × 1,045² - a × 1,045 - a.

Au bout de la troisième années, on peut établir que C₃ est égale à,

C₃ = C × 1,045³ - a × 1,045² - a × 1,045 - a.

Au bout de la quatrième années, on peut établir que C₄ est égale à,

C₄ = C × 1,045⁴ - a × 1,045³ - a × 1,045² - a × 1,045 - a.

Au bout de la cinquième année, nous aurions,

C₄ = C × 1,045⁵ - a × 1,045⁴ - a × 1,045³ - a × 1,045² - a × 1,045 - a

sauf que le capital restant du au bout de la cinquième année, doit être égale à 0.

Nous obtenons donc,

C × 1,045⁵ - a × 1,045⁴ - a × 1,045³ - a × 1,045² - a × 1,045 - a = 0.

Ou encore, en mettant en facteur l' annuité a,

C × 1,045⁵ - a ( 1,045⁴ + 1,045³ + 1,045²+ 1,045 + 1 ) = 0.

Le facteur ( 1,045⁴ + 1,045³ + 1,045²+ 1,045 + 1 ) est la somme des termes d' une suite ( ou progression ) géométrique, dont la raison est 1,045; cette somme est égale à :

( 1,045⁵ -1 ) / ( 1,045 - 1 ) ou ( 1,045⁵ - 1 ) / 0,045.

On a donc l' équation,

C × 1,045⁵ - a ( 1,045⁵ - 1 ) / 0,045 = 0.

De là on tire,

a = C × 1,045⁵ / [ ( 1,045⁵ - 1 ) / 0,045 ]

ou

a = C × 0,045 × 1,045⁵ / ( 1,045⁵ - 1 ).

Soit pour notre exemple,

a = 185 000 × 0,045 × 1,045⁵ / ( 1,045⁵ - 1 )

a = .

Formule de l' annuité

Si on désigne par a l' annuité, par C le capital emprunté, r le taux annuel par € et n le nombre des années, on aura la formule générale de l' annuité :

a = C × r × ( 1 + r )ⁿ / [ ( 1 + r )ⁿ - 1 ]

ou encore : .