exercices sur les suites arthimétiques et géométriques

Exercices sur les suites arithmétiques

Exercice 1

Soit la suite (un) est une suite arithmétique de raison r.

1) On donne : u5 = 8, r = 3. Calculer u1, u20 et u101.

2) On donne : u3 = 23, u8 = 7. Calculer r, u5 et u10.

3) On donne : u7 = 4/3, u13 =17/9. Calculer u0.

Exercice 2

Soit la suite (un) définie par un = 7 − 3n

1) Calculer u0, u1 et u2

2) Démontrer que (un) est une suite arthimétique et déterminer la raison de la suite ?

3) Quelle est la valeur du 51ème terme ?

4) Calculer la somme des 51 premiers termes ?

Exercice 3

Trouver est la valeur de u0 de la suite dont la raison r est égale à 14 et u23 = 54

Exercice 4

Calculer la somme des entiers naturel entre 1000 et 10000.

Exercice 5

Soit la suite arithmétiques (un) de raison r dont on connait 2 termes u100 = 90 et u1000 = 900.

1) Calculer la raison r et u0.

2) Calculer la somme de u100 à u1000.

Exercices sur les suites géométriques

Exercice 6

Soit (un) une suite géométrique telle que u0 = 7 et sa raison est égale à 3.

1) Calculer les 3 premiers termes qui suive u0.

2) Calculer u9.

3) Calculer la somme S = u0 + u1 + u2 + ... + u9.

Exercice 7

Derterminer le nombre a telque les 3 nombres suivant : 7, a et 8 soient les termes consécutifs d'une suite géométrique.

Exercice 8

Calculer la valeur exacte de la somme suivante :

S = 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − 32 + ... + 4096

Exercice 9

Calculer le 10ème terme et le 35ème terme de la suite géométrique de premier terme u1 = 0,9 et de raison r = 2.

Exercice 10

Calculer la raison positive d'une suite géométrique dont on connait les termes suivant : u3 = 3 et u5 = 12 .

Exercice 11

Un étudiant loue une chambre pour 3 ans. On lui propose deux types de bail.

1er contrat : un loyer de 200 euros pour le premier mois puis une augmentation de 5 euros par mois jusqu'à la fin du bail.

2ème contrat : un loyer de 200 euros pour le premier mois puis une augmentation de 2% par mois jusqu'à la fin du bail.

1/ Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois.

2/ Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du dernier mois ( c'est-à-dire du 36ème mois ).

3/ Quel est le contrat globalement le plus avantageux pour un bail de 3 ans ? (Justifier à l'aide de calculs)

Exercice 12

La population actuelle augmente de 1% par an. En 2010, elle était de 6,9 milliards. On note un la population mondiale l'année 2010+n.

a. Expliquer pourquoi la suite un est géométrique. Préciser son premier terme un et sa raison.

b. Exprimer un en fonction de n.

c. En supposant que le taux d'accroissement se maintienne, estimer la population mondiale en 2025.

d. A l'aide de la calculatrice, estimer en quelle année les 9 milliards d'habitants seront atteints.

Exercice 13

Calculer les sommes suivantes :
S1= 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + ... + 59049 et S2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 999
(Dans les deux cas, on précisera s'il s'agit d'une somme de termes d'une suite arithmétique ou géométrique, ainsi que la raison correspondante)

Correction exercice 1

1) On sait que un = u1 + r × (n − 1) d'où u1 = u5 − 3×(5 − 1) = 8 − 12 = − 4

u20 = −4 + 3×(20 − 1) = 53 et u101 = −4 + 3×(101 − 1) = 296

2) On a u3 − u8 = u1 + r × (3 − 1) − [u1 + r × (8 − 1) ] = 2r − 7r = − 5r or u3 − u8= 23 − 7 = 16

d' où −5r = 16 d' où r = −16/5

u5 = u3 + 2r = 23 − 32/5 = 83/5

u10 = u5 + 5r = 83/5 − 16 = − 7/5

3) On a u7 − u13 = (7 − 13)r = − 6r or u7 − u13 = 4/3 − 17/9 = 12/9 − 17/9 = − 5/9

d'où r = 5/54

u7 = u0 + 7r d'où u0 = 4/3 + 35/54 = 151/108

Correction exercice 2

1) u0 = 7 ; u1 = 4 ; u2 = 1

2) Montrons que un − un−1 est constant pour tout n supérieur ou égal à 1

un − un−1 = 7 − 3n − ( 7 − 3(n−1)) = − 3n + 3n − 3 = − 3

la suite (un) est une suite arithmétique dont la raison r est égale à − 3.

3) u50 = u0 + nr = 7 + 50×(−3) = − 143.

Correction exercice 3

un = u0 + nr d'où u23 = u0 + 23r et u0 = u23 − 23r = 54 − 23 × 14 = − 268

u0 = − 268.

Correction exercice 4

Soit S999 la somme des 999 premiers entiers naturels :

S999 = 1 + 2 + 3 + ... + 999 = [ (1 + 999) × 999 ] ÷ 2 = 1001000 ÷ 2 = 499500

Soit S10000 la somme des 10000 premiers entiers naturels :

S10000 = 1 + 2 + 3 + ... + 999 + 10000 = [ (1 + 10000) × 10000 ] ÷ 2 = 100010000 ÷ 2 = 50005000

d'où on obtient :

1000 + 1001 + ... + 9999 + 10000 = S10000 − S999 = 50005000 − 499500 = 49505500 .

Correction exercice 5

u100 = 90 et u1000 = 900 on sait que u100 = u0 + 100r et u1000 = u0 + 1000r d'où

u1000 − u100 = 900r = 900 − 90 = 810 d'où r = 9/10

u0 = 90 − 100r = 0.

Correction exercice 6

1) u0 = 7 ; u1 = 21 ; u2 = 3 × 21 = 63; u3 = 3 × 63 = 189

2) un = qn × u0 d'où u9 = 39 × 7 = 137781

3) u0 + u1 + ... + u9 = 7 × [ 30 + 31 + 32 + ... + 39 ] = 7 × [ 1 − 3 10 ] ÷ [ 1 − 3 ] = 7 × [ 310 − 1 ] ÷ 2 = 206668.

Correction exercice 7

Soit q la raison de cette suite géométrique on a alors :

a = 7q et 8 = qa d'où

8 = 7q2 q = 2√2÷√7.

d'ou a = 14√2÷√7

Correction exercice 8

S = 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − 32 + 64 − 128 + 256+ ... − 2048 + 4096

S1 = 1 + 4 + 16 + 64 + ... + 1024 + 4096 est la somme d'une suite géométrique de raison 4

S2 = − 2 − 8 − 32 − 128 − ... − 2048 = −2 ( 1 + 4 + 16 + 64 + ... + 1024 )

Correction exercice 9

un = qn−1 × u1 alors u10 = 29 × 0,9 et u35 = 234 × 0,9

Correction exercice 10

un = qn × u0 alors u3 = q3 × u0 = 3 et u5 = q5 × u0 = 12

d'où u5 / u3 = q2 = 12 / 3 = 4 d'où q = 2

Correction exercice 12

a.

un+1 = un + 1/100 . un = un . ( 1 + 1/100 )

un+1 / un = 1,01 raison de la suite qui est géométrique

b. un+1 = 1,01n . u0

c. calculer u15


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