cours de mathématiques : calcul intérêts composés

Les intérêts composés

Quand un capital est placé à intérêts composés, l'intérêt produit à la fin de la première année est ajouté au capital, ce qui forme un deuxième capital qui produit un intérêt pendant la deuxième année.

Cet intérêt ajouté à son capital forme un troisième capital qui produit un intérêt pendant cette troisième année; cet intérêt s'ajoute à son capital et ainsi de suite.

De là nous allons déduire une expression très simple pour la valeur acquise par un capital placé à intérêts composées.

Rappelons d' abord cette règle :

pour trouver la valeur acquise par un capital, après qu' il a été augmenté de son intérêt au bout d'un an, on multiplie ce capital par 1 augmenté de l'intérêt de 1 € au bout de 1 an.

Soit un capital de 862 € placé à 5%.

Les intérêts de 1€ au bout de 1 an étant de 0,05 €, un capital de 1€ prend une valeur égale à 1,05 € et un capital de 862€ vaut 862 multiplié par 1,05 c' est à dire :

862 × 1,05

ce qui démontre la règle énoncée.

Soit maintenant un capital C placé pendant 5 ans. Prenons pour le taux , non pas l'intérêt pour 100 €, mais celui de 1€ et soit r l'intérêt annuel de 1€.

Au bout de la première année, la valeur acquise par le capital C est de :

C × ( 1 + r ).

Ce nouveau capital au bout de la deuxième année prend une valeur égale à :

C × ( 1 + r ) × ( 1 + r ) ou C × ( 1 + r )2.

Ce dernier capital au bout de la 3ème année prend une valeur égale à :

C × ( 1 + r )2; × ( 1 + r ) ou C × ( 1 + r )3.

On voit, sans répéter ces explications, que la valeur serait :

au bout de la 4ème année, C × ( 1 + r )4;

au bout de la 5ème année, C × ( 1 + r )5 .

De là la règle :

pour trouver la valeur acquise par capital placé à intérêts composés, au bout d'un certain nombre d'années, il faut multiplier ce capital par 1 augmenté de l'intérêt annuel de 1 €, élevé à une puissance d'un degré marqué par le nombre d'années.

Si on représente par n le nombre des années et par A la valeur acquise par le capital C, la règle précédente est exprimée par cette formule :

A = C × ( 1+ r )n. [ i ]

Par exemple, la valeur la valeur acquise par 862€ au bout de 5 années à 4% serait

862 × 1,045 = 1048,75.

CONSEQUENCES

La formule [ i ] permet de résoudre trois autres problèmes.

1 °) Pour trouver le capital qui a pris une valeur connue au bout d'un certain nombre d'années, il faut diviser cette valeur par 1 augmenté de l'intérêt annuel de 1 €, élevé à une puissance d'un degré marqué par le nombre des années.

En effet, de la formule [ i ] on tire :

C = A / ( 1 + r )n.

Soit par exemple trouver le capital qui au bout de 5 ans et au taux de 4% a pris une valeur de 1048,70€.

On aura

C = 1048,70 / 1,045 = 862.

2°) Trouver le taux r auquel un capital C a pris au bout de n années une valeur A.

De la formule [i] on tire

( 1 + r )n = A/C d' où r + 1 = (A/C)1/n

Soit à trouver le taux auquel un capital de 862€ qui au bout de 5 ans a pris une valeur de 1048,70€. On aura,

r = (1048,70 / 862)1/5 − 1 = 0,04.

3°) Trouver le nombre d' année n au bout duquel un capital de 862€ a pris une valeur égale à 1048,70, le taux étant de 4%.

On a d' abord

( 1 + r )n = A/C

n log ( 1+ r ) = log A − log C

d' où l' on tire n = ( log A − log C ) / log ( 1 + r ).

REMARQUES

Si on demandait au bout de combien d'années un capital C a été doublé au taux de r, il faudrait remplacer A par 2C dans la formule [ i ]. On aurait ainsi

2C = C × ( 1 + r )n

d' où 2 = ( 1 + r )n.

De là on tire,

n log ( 1 + r ) = log 2

n = log 2 / log ( 1+ r ).

A 5% le capital est doublé au bout de 14 ans 2 mois et demi.


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