Les intérêts composés

Quand un capital est placé à intérêts composés, l'intérêt produit à la fin de la première année est ajouté au capital, ce qui forme un deuxième capital qui produit un intérêt pendant la deuxième année.

Cet intérêt ajouté à son capital forme un troisième capital qui produit un intérêt pendant cette troisième année ; cet intérêt s'ajoute à son capital et ainsi de suite.

De là nous allons déduire une expression très simple pour la valeur acquise par un capital placé à intérêts composés.

Rappelons d'abord cette règle :

Pour trouver la valeur acquise par un capital, après qu'il a été augmenté de son intérêt au bout d'un an, on multiplie ce capital par 1 augmenté de l'intérêt de 1 € au bout de 1 an.

Soit un capital de 862 € placé à 5 %.

Les intérêts de 1 € au bout de 1 an étant de 0,05 €, un capital de 1 € prend une valeur égale à 1,05 € et un capital de 862 € vaut 862 multiplié par 1,05, c'est-à-dire :

862 × 1,05 ;

ce qui démontre la règle énoncée.

Soit maintenant un capital C placé pendant 5 ans. Prenons pour le taux, non pas l'intérêt pour 100 €, mais celui de 1 € et soit r l'intérêt annuel de 1 €.

Au bout de la première année, la valeur acquise par le capital C est de :

C × (1 + r).

Ce nouveau capital au bout de la deuxième année prend une valeur égale à :

C × (1 + r) × (1 + r) = C × (1 + r)².

Ce dernier capital au bout de la 3^e année prend une valeur égale à :

C × (1 + r)² × (1 + r) = C × (1 + r)³.

On voit, sans répéter ces explications, que la valeur serait :

au bout de la 4^e année, C × (1 + r)⁴ ;

au bout de la 5^e année, C × (1 + r)⁵.

De là la règle :

Pour trouver la valeur acquise par un capital placé à intérêts composés, au bout d'un certain nombre d'années, il faut multiplier ce capital par 1 augmenté de l'intérêt annuel de 1 €, élevé à une puissance d'un degré marqué par le nombre d'années.

Si on représente par n le nombre des années et par A la valeur acquise par le capital C, la règle précédente est exprimée par cette formule :

$A = C \times {(1 + r)}^{n}$ . [ i ]

Par exemple, la valeur acquise par 862 € au bout de 5 années à 4 % serait :

862 × 1,04⁵ ≈ 1 048,75 €.

Conséquences

La formule [ i ] permet de résoudre trois autres problèmes.

1) Pour trouver le capital qui a pris une valeur connue au bout d'un certain nombre d'années, il faut diviser cette valeur par 1 augmenté de l'intérêt annuel de 1 €, élevé à une puissance d'un degré marqué par le nombre des années.

En effet, de la formule [ i ] on obtient :

$C = \frac{A}{{(1 + r)}^{n}}$ .

Soit par exemple à trouver le capital qui, au bout de 5 ans et au taux de 4 %, a pris une valeur de 1 048,75 €.

On aura :

C = 1 048,75 / 1,04⁵ ≈ 862 €.

2) Trouver le taux r auquel un capital C a pris au bout de n années une valeur A.

De la formule [i] on obtient :

${(1 + r)}^{n} = \frac{A}{C}$ d'où $r + 1 = {(\frac{A}{C})}^{\frac{1}{n}}$ .

Soit à trouver le taux auquel un capital de 862 € a pris, au bout de 5 ans, une valeur de 1 048,75 €. On aura :

r = (1 048,75 / 862)^1/5 − 1 ≈ 0,04, soit un taux de 4 %.

3) Trouver le nombre d'années n au bout duquel un capital de 862 € a pris une valeur égale à 1 048,75 €, le taux étant de 4 %.

On a d'abord :

(1 + r)ⁿ = A/C ;

n log (1 + r) = log A − log C ;

d'où :

$n = \frac{\log A - \log C}{\log (1 + r)}$ .

Ici, n = (log 1 048,75 − log 862) / log 1,04 ≈ 5 : il faut donc n = 5 ans.

Remarque

Si on demandait au bout de combien d'années un capital C a été doublé au taux de r, il faudrait remplacer A par 2C dans la formule [ i ]. On aurait ainsi :

2C = C × (1 + r)ⁿ ;

d'où 2 = (1 + r)ⁿ.

De là on obtient :

n log (1 + r) = log 2 ;

$n = \frac{\log 2}{\log (1 + r)}$ .

À 5 % le capital est doublé au bout de 14 ans 2 mois et demi.