Diviseur de 2 entiers naturels
Soient d et n deux entiers naturels, d non nul. On dit que d est un diviseur de n s’il existe un entier q tel que :
n = d × q.
On dit alors également que :
- n est divisible par d ;
- n est un multiple de d ;
- d divise n .
Exemples :
12 = 3 × 4
3 est diviseur de 12
12 est divisible par 3
12 est un multiple de 3
3 divise 12
36 = 9 × 4
4 est diviseur de 36
36 est divisible par 9
36 est un multiple de 9
9 divise 36
On dit qu’un nombre entier est un nombre premier s’il n’admet que 2 diviseurs : 1 et lui-même.
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; etc. sont des nombres premiers.
Remarque : a = 1 × a ; 1 est diviseur de tout nombre entier.
Propriétés: La somme de deux multiples d’un même nombre entier est un multiple de ce nombre entier .
La différence, si elle existe , entre de deux multiples d’un même nombre entier est un multiple de ce nombre entier .
En effet , si m et n sont deux multiples d’un nombre entier a tels que m > n , alors on a :
`m + n = a×p + a×q ; m - n = a×p - a×q`
`m + n = a × (p + q) ; m - n = a(p - q)`
Diviseurs communs à deux entiers
Définition
Soient m et n deux entiers naturels non nuls. On appelle diviseur commun de m et de n un nombre entier qui divise m et n .
PGCD de deux nombres entiers
Parmi tous les diviseurs communs de deux nombres entiers , il y en a un qui est le plus grand . On l’appelle Plus Grand Commun Diviseur et on le note PGCD .
Le plus grand diviseur commun de 12 et 18 est 6 et le plus grand diviseur commun de 126 et 90 est ….. .
On note : PGCD (12 ; 18) = 6 et PGCD (126 ; 90) = …..
Définition
On dit que deux nombres entiers sont premiers entre eux si 1 est leur seul diviseur commun .
Propriétés
P1 : Deux nombres entiers dont le PGCD est égal à 1 sont premiers entre eux .
Attention !!! Deux nombres premiers entre eux ne sont pas forcément des nombres premiers.
P2 : Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux .
P3 : Soient a et b deux nombres entiers , b ≠ 0 . Si a et b sont premiers entre eux , alors la fraction 
est irréductible.
Conséquence : On rend une fraction irréductible en la simplifiant par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur .
Exemples :
PGCD (48 ; 15) = 3 donc 48 et 15 ne sont pas premiers entre eux.
PGCD (36 ; 25) = 1 donc 36 et 25 sont premier entre eux et la fraction 36/25 est irréductible.
Algorithme de recherche du PGCD de deux nombres entiers
1) Algorithme des différences
On a vu précédemment que , si un nombre entier est un diviseur de deux autres nombres , alors il divise leur différence . Cela est donc vrai également pour leur PGCD . Le principe de cet algorithme est de calculer les différences successives entre des nombres que le PGCD recherché divise jusqu’à ce que le résultat soit nul . Le PGCD des deux nombres est le dernier résultat non nul obtenu dans les divisions successives .
Exemples :
429 – 156 = 273 35 – 24 = 11
273 – 156 = 117 24 – 11 = 13
156 – 117 = 39 13 – 11 = 2
117 – 39 = 78 11 – 2 = 9
78 – 39 = 39 9 – 2 =7
39 – 39 = 0 7 – 2 = 5
PGCD (429 ; 156) = 39 5 – 2 = 3
3 –2 = 1
2 – 1 = 1
1 – 1 = 0
PGCD (35 ; 24) = 1 donc 35 et 24 sont premiers entre eux .