nombre | diviseurs et pgcd | Mersenne Fermat | Factorisation Mersenne Fermat

Problème de factorisation

La décomposition en facteurs premiers de grands entiers (nombres composés de plusieurs dizaines de chiffres) est encore de nos jours très difficile à réaliser. Malgré la puissance des ordinateurs qui n'a cessé d'augmenter depuis plus d'un demi-siècle, il n'est toujours pas possible de factoriser certains nombres qui possèdent plusieurs centaines de chiffres et dont les facteurs premiers sont peu nombreux et dont le plus petit d'entre eux posséde, lui aussi, un très grand nombre de chiffres. C'est d'ailleurs la base de la cryptographie moderne.

Si l’on choisit deux nombres premiers suffisamment grands (composés de plusieurs centaines de chiffres chacun), il est très facile de les multiplier entre eux avec nos ordinateurs actuels, cela ne prendra qu'un certain temps (moins d'une seconde). Par contre, une fois le résultat obtenu, il est quasiment impossible d’effectuer sa décomposition en facteurs premiers, cela pourrait prendre un temps certain (jusqu'à plusieurs années).

Pour vous donner un ordre d'idée de la difficulté à décomposer en facteurs premiers, essayez de trouver, sans table de nombres premiers, les facteurs premiers de ce nombre  30 031 ou encore de 4 294 967 297, le sixième nombre de Fermat.

Fermat avait conjecturé au 17ème siècle (vers 1640) que les nombres de la forme `2^{2^n} + 1` étaient premiers. Cette conjecture se révéla fausse. Les 5 premiers nombres de Fermat sont effectivement premiers.

F0 = 3 ; F1 = 5 ; F2 = 17 ; F3 = 257 ; F4 = 65537.

Mais le sixième 4 294 967 297 ne l’est pas. C’est le mathématicien Euler qui, en 1733, près d’un siècle plus tard, montra que le sixième nombre de Fermat pouvait se factoriser en 2 termes.

En 1867, Landry trouve que le nombre de Mersenne M59 est divisible par 179 951, il lui faut 143 divisions pour y parvenir. Pour démontrer que le second facteur 3 203 431 780 337 était premier, il lui faut encore plus de 1000 divisions pour y parvenir. Ce nombre est resté le plus grand nombre premier connu pendant 9 ans.

Le 7ème nombre de Fermat F6 = 274177 × 67280421310721 fut, quand à lui, factorisé en 1855 par Clausen.

Par la suite, les progrès dans la recherche de décompositions de grands nombres en produit de facteurs premiers ont été lents. Par exemple, au début du 20ème siècle, Frank Nelson Cole a donné la factorisation du nombre de Mersenne M67 = 267 − 1 = 147 573 952 589 676 412 927 en 1903. De son propre aveu, le calcul lui avait pris tous ses dimanches durant 3 ans.

 

M_67 = 193 707 721 × 761 838 257 287.

Le 8ème nombre de Fermat F7 = 2128 + 1 (composé de 39 chiffres) n’a, quand à lui, été factorisé que dans les années 1970 avec l’avènement de nouveaux algorithmes et la montée en puissance des ordinateurs.

Il aura fallu plus de 250000 secondes à mon meilleur programme pour le décomposer (sur un mac à 2ghz) :

2^128+1 = 340282366920938463463374607431768211457(39) =
59649589127497217(17) × 5704689200685129054721(22) × 1 Temps en seconde(s) : 251151.280743

De nos jour les meilleurs algorithmes le font en quelques secondes.

Factorisation des nombres de Mersenne

Voilà ce que l'on peut obtenir avec un ordinateur de particulier et quelques heures de programmation. Nous trouvons plusieurs algorithme sont à disposition sur le net, les plus triviaux ne mèment pas bien loin. Vous vous trouvez rapidement bloqué. Ne serais par les nombres de Mersenne qui sont premier. Il faut donc implanté un test de primilarité , j'ai choisi celui de Miller-Rabin, cela vous permet de ne pas avoir à tester, par votre algorithme de factorisation, les facteurs qui sont premiers.

 

M_ême avec ce test les résultats sont assez lents. M59 est un bon candidat pour tester des algorithmes. En effet sa factorisation est facilement accessible, mais tout même significative, du fait qu'il posséde seulement 2 facteurs premiers.

Nous appelerons l'algorithme "force brute", l'algorithme de division successives jusqu'à la racine carré du nombre tester.

Factorisation de M59 en force brute avec le test de Miller-Rabin

 

M__59 = 2^59-1 = 576460752303423487(18) =
179951(6) × 3203431780337(13) × Temps en seconde(s) : 3.014073

Factorisation de M59 en force brute avec le test de Miller-Rabin en remarquant que les facteurs des nombres de Mersenne sont de la forme 1+2kp

 

M__59 = 2^59-1 = 576460752303423487(18) =
179951(6) × 3203431780337(13) × Temps en seconde(s) : 0.192607

avec cette méthode la factorisation de M67 devient accessible :

 

M__67 = 2^67-1 = 147573952589676412927(21) =
193707721(9) × 761838257287(12) × Temps en seconde(s) : 55.185544

 

M_algré l'optimisation des facteurs, il est évident que cette méthode va très vite trouver ses limites en effet le temps de factorisation est environ 280 fois plus long pour un petit facteur qui posséde seulement 3 chiffres de plus. De plus cette optimisation n'est valable que les nombre de Mersenne, c'est-à-dire pour p premier, et pas pour les autres valeurs de p.

Factorisation de M67 avec l'algorithme de rho pollard sans autre optimisation :

 

M__67 = 2^67-1 = 147573952589676412927(21) =
193707721(9) × 761838257287(12) × Temps en seconde(s) : 6.954788

Factorisation de M67 avec l'algorithme de rho pollard avec un algorithme de division rapide dans les divisions de rho Pollard :

 

M__67 = 2^67-1 = 147573952589676412927(21) =
193707721(9) × 761838257287(12) × Temps en seconde(s) : 1.870080

Factorisation des nombres de Mersenne à l'aide de l'algorithme de Brent Pollard et de la division rapide et du test de Miller-Rabin

Cette fois l'algorithme de brent pollard aidé de la division rapide pour les calculs modulo n peut nous permettre d'accéder à la factorisation des premiers nombres de Mersenne et des autres puissance, jusqu'au nombre 2169 − 1; excepté faite de 2122 − 1, 2137 − 1 et 2149 − 1 ces nombres sont des pseudos premiers composés de deux facteurs premiers dont les plus petits facteurs possédent au minimun 17 chiffres.

 

M__2 = 2^2-1 = 3(1) =
3(1) × 1 Temps en seconde(s) : 0.003421

 

M__3 = 2^3-1 = 7(1) =
7(1) × Temps en seconde(s) : 0.003405

 

M__4 = 2^4-1 = 15(2) =
3(1) × 5(1) × Temps en seconde(s) : 0.003376

 

M__5 = 2^5-1 = 31(2) =
31(2) × Temps en seconde(s) : 0.003448

 

M__6 = 2^6-1 = 63(2) =
3(1) × 3(1) × 7(1) × Temps en seconde(s) : 0.003367

 

M__7 = 2^7-1 = 127(3) =
127(3) × Temps en seconde(s) : 0.003398

 

M__8 = 2^8-1 = 255(3) =
3(1) × 5(1) × 17(2) × Temps en seconde(s) : 0.003388

 

M__9 = 2^9-1 = 511(3) =
7(1) × 73(2) × Temps en seconde(s) : 0.003426

 

M__10 = 2^10-1 = 1023(4) =
3(1) × 11(2) × 31(2) × Temps en seconde(s) : 0.003433

 

M__11 = 2^11-1 = 2047(4) =
23(2) × 89(2) × Temps en seconde(s) : 0.003474

 

M__12 = 2^12-1 = 4095(4) =
3(1) × 3(1) × 5(1) × 7(1) × 13(2) × Temps en seconde(s) : 0.003518

 

M__13 = 2^13-1 = 8191(4) =
8191(4) × Temps en seconde(s) : 0.005621

 

M__14 = 2^14-1 = 16383(5) =
3(1) × 43(2) × 127(3) × Temps en seconde(s) : 0.003677

 

M__15 = 2^15-1 = 32767(5) =
7(1) × 31(2) × 151(3) × Temps en seconde(s) : 0.003614

 

M__16 = 2^16-1 = 65535(5) =
3(1) × 5(1) × 17(2) × 257(3) × Temps en seconde(s) : 0.003527

 

M__17 = 2^17-1 = 131071(6) =
131071(6) × 1 PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER Temps en seconde(s) : 0.019437

 

M__18 = 2^18-1 = 262143(6) =
3(1) × 3(1) × 3(1) × 7(1) × 19(2) × 73(2) × Temps en seconde(s) : 0.003686

 

M__19 = 2^19-1 = 524287(6) =
524287(6) × 1 PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER Temps en seconde(s) : 0.022863

 

M__20 = 2^20-1 = 1048575(7) =
3(1) × 5(1) × 5(1) × 11(2) × 31(2) × 41(2) × Temps en seconde(s) : 0.003754

 

M__21 = 2^21-1 = 2097151(7) =
7(1) × 7(1) × 127(3) × 337(3) × Temps en seconde(s) : 0.003950

 

M__22 = 2^22-1 = 4194303(7) =
3(1) × 23(2) × 89(2) × 683(3) × Temps en seconde(s) : 0.003960

 

M__23 = 2^23-1 = 8388607(7) =
47(2) × 178481(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.012252

 

M__24 = 2^24-1 = 16777215(8) =
3(1) × 3(1) × 5(1) × 7(1) × 13(2) × 17(2) × 241(3) × Temps en seconde(s) : 0.003912

 

M__25 = 2^25-1 = 33554431(8) =
31(2) × 601(3) × 1801(4) × Temps en seconde(s) : 0.004751

 

M__26 = 2^26-1 = 67108863(8) =
3(1) × 2731(4) × 8191(4) × Temps en seconde(s) : 0.009366

 

M__27 = 2^27-1 = 134217727(9) =
7(1) × 73(2) × 262657(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.011082

 

M__28 = 2^28-1 = 268435455(9) =
3(1) × 5(1) × 29(2) × 43(2) × 113(3) × 127(3) × Temps en seconde(s) : 0.004298

 

M__29 = 2^29-1 = 536870911(9) =
233(3) × 1103(4) × 2089(4) × Temps en seconde(s) : 0.006115

 

M__30 = 2^30-1 = 1073741823(10) =
3(1) × 3(1) × 7(1) × 11(2) × 31(2) × 151(3) × 331(3) × Temps en seconde(s) : 0.004395

 

M__31 = 2^31-1 = 2147483647(10) =
2147483647(10) × 1 PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER Temps en seconde(s) : 0.067856

 

M__32 = 2^32-1 = 4294967295(10) =
3(1) × 5(1) × 17(2) × 257(3) × 65537(5) × Temps en seconde(s) : 0.006768

 

M__33 = 2^33-1 = 8589934591(10) =
7(1) × 23(2) × 89(2) × 599479(6) × Temps en seconde(s) : 0.007629

 

M__34 = 2^34-1 = 17179869183(11) =
3(1) × 43691(5) × 131071(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.040584

 

M__35 = 2^35-1 = 34359738367(11) =
31(2) × 71(2) × 127(3) × 122921(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.011421

 

M__36 = 2^36-1 = 68719476735(11) =
3(1) × 3(1) × 19(2) × 5(1) × 7(1) × 3(1) × 3(1) × 3(1) × 13(2) × 3(1) × 37(2) × 73(2) × 109(3) × Temps en seconde(s) : 0.010154

 

M__37 = 2^37-1 = 137438953471(12) =
223(3) × 616318177(9) × 1 Temps en seconde(s) : 0.032471

 

M__38 = 2^38-1 = 274877906943(12) =
3(1) × 524287(6) × 174763(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.052345

 

M__39 = 2^39-1 = 549755813887(12) =
7(1) × 79(2) × 8191(4) × 121369(6) × Temps en seconde(s) : 0.021484

 

M__40 = 2^40-1 = 1099511627775(13) =
3(1) × 5(1) × 5(1) × 11(2) × 17(2) × 31(2) × 41(2) × 61681(5) × 1 Temps en seconde(s) : 0.011037

 

M__41 = 2^41-1 = 2199023255551(13) =
13367(5) × 164511353(9) × 1 Temps en seconde(s) : 0.040871

 

M__42 = 2^42-1 = 4398046511103(13) =
3(1) × 3(1) × 7(1) × 7(1) × 43(2) × 127(3) × 337(3) × 5419(4) × Temps en seconde(s) : 0.006254

 

M__43 = 2^43-1 = 8796093022207(13) =
431(3) × 9719(4) × 2099863(7) × 1 Temps en seconde(s) : 0.031486

 

M__44 = 2^44-1 = 17592186044415(14) =
3(1) × 5(1) × 23(2) × 89(2) × 397(3) × 683(3) × 2113(4) × Temps en seconde(s) : 0.006772

 

M__45 = 2^45-1 = 35184372088831(14) =
7(1) × 31(2) × 73(2) × 151(3) × 631(3) × 23311(5) × Temps en seconde(s) : 0.010162

 

M__46 = 2^46-1 = 70368744177663(14) =
3(1) × 47(2) × 178481(6) × 2796203(7) × 1 Temps en seconde(s) : 0.060587

 

M__47 = 2^47-1 = 140737488355327(15) =
2351(4) × 4513(4) × 13264529(8) × 1 Temps en seconde(s) : 0.043228

 

M__48 = 2^48-1 = 281474976710655(15) =
3(1) × 13(2) × 5(1) × 3(1) × 7(1) × 3(1) × 3(1) × 241(3) × 97(2) × 17(2) × 257(3) × 673(3) × Temps en seconde(s) : 0.014543

 

M__49 = 2^49-1 = 562949953421311(15) =
127(3) × 4432676798593(13) × 1 Temps en seconde(s) : 0.049894

 

M__50 = 2^50-1 = 1125899906842623(16) =
3(1) × 11(2) × 3(1) × 31(2) × 251(3) × 601(3) × 1801(4) × 4051(4) × Temps en seconde(s) : 0.018363

 

M__51 = 2^51-1 = 2251799813685247(16) =
7(1) × 103(3) × 2143(4) × 11119(5) × 131071(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.044818

 

M__52 = 2^52-1 = 4503599627370495(16) =
3(1) × 5(1) × 53(2) × 157(3) × 1613(4) × 2731(4) × 8191(4) × Temps en seconde(s) : 0.013494

 

M__53 = 2^53-1 = 9007199254740991(16) =
6361(4) × 69431(5) × 20394401(8) × 1 Temps en seconde(s) : 0.075092

 

M__54 = 2^54-1 = 18014398509481983(17) =
3(1) × 3(1) × 3(1) × 3(1) × 7(1) × 19(2) × 73(2) × 87211(5) × 262657(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.046612

 

M__55 = 2^55-1 = 36028797018963967(17) =
23(2) × 31(2) × 89(2) × 881(3) × 3191(4) × 201961(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.021523

 

M__56 = 2^56-1 = 72057594037927935(17) =
3(1) × 5(1) × 17(2) × 29(2) × 43(2) × 113(3) × 127(3) × 15790321(8) × 1 Temps en seconde(s) : 0.027449

 

M__57 = 2^57-1 = 144115188075855871(18) =
7(1) × 32377(5) × 524287(6) × 1212847(7) × 1 Temps en seconde(s) : 0.103639

 

M__58 = 2^58-1 = 288230376151711743(18) =
3(1) × 59(2) × 233(3) × 1103(4) × 2089(4) × 3033169(7) × 1 Temps en seconde(s) : 0.024562

 

M__59 = 2^59-1 = 576460752303423487(18) =
179951(6) × 3203431780337(13) × 1 Temps en seconde(s) : 0.143974

 

M__60 = 2^60-1 = 1152921504606846975(19) =
3(1) × 3(1) × 5(1) × 5(1) × 7(1) × 11(2) × 13(2) × 31(2) × 41(2) × 61(2) × 151(3) × 331(3) × 1321(4) × Temps en seconde(s) : 0.008499

 

M__61 = 2^61-1 = 2305843009213693951(19) =
2305843009213693951(19) × 1 PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER Temps en seconde(s) : 0.356570

 

M__62 = 2^62-1 = 4611686018427387903(19) =
3(1) × 715827883(9) × 2147483647(10) × 1 Temps en seconde(s) : 3.634923

 

M__63 = 2^63-1 = 9223372036854775807(19) =
7(1) × 7(1) × 73(2) × 127(3) × 337(3) × 92737(5) × 649657(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.046332

 

M__64 = 2^64-1 = 18446744073709551615(20) =
3(1) × 5(1) × 17(2) × 257(3) × 641(3) × 65537(5) × 6700417(7) × 1 Temps en seconde(s) : 0.071602

 

M__65 = 2^65-1 = 36893488147419103231(20) =
31(2) × 8191(4) × 145295143558111(15) × 1 Temps en seconde(s) : 0.114911

 

M__66 = 2^66-1 = 73786976294838206463(20) =
3(1) × 3(1) × 7(1) × 23(2) × 67(2) × 89(2) × 683(3) × 20857(5) × 599479(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.042356

 

M__67 = 2^67-1 = 147573952589676412927(21) =
193707721(9) × 761838257287(12) × 1 Temps en seconde(s) : 5.206143

 

M__68 = 2^68-1 = 295147905179352825855(21) =
3(1) × 5(1) × 137(3) × 953(3) × 131071(6) × 43691(5) × 26317(5) × Temps en seconde(s) : 0.077998

 

M__69 = 2^69-1 = 590295810358705651711(21) =
7(1) × 47(2) × 178481(6) × 10052678938039(14) × 1 Temps en seconde(s) : 0.126579

 

M__70 = 2^70-1 = 1180591620717411303423(22) =
3(1) × 11(2) × 31(2) × 43(2) × 71(2) × 127(3) × 281(3) × 86171(5) × 122921(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.048207

 

M__71 = 2^71-1 = 2361183241434822606847(22) =
228479(6) × 48544121(8) × 212885833(9) × 1 Temps en seconde(s) : 0.441938

 

M__72 = 2^72-1 = 4722366482869645213695(22) =
3(1) × 3(1) × 3(1) × 5(1) × 7(1) × 13(2) × 17(2) × 19(2) × 37(2) × 73(2) × 109(3) × 241(3) × 433(3) × 38737(5) × Temps en seconde(s) : 0.012349

 

M__73 = 2^73-1 = 9444732965739290427391(22) =
439(3) × 2298041(7) × 9361973132609(13) × 1 Temps en seconde(s) : 0.169009

 

M__74 = 2^74-1 = 18889465931478580854783(23) =
3(1) × 223(3) × 1777(4) × 25781083(8) × 616318177(9) × 1 Temps en seconde(s) : 1.688764

 

M__75 = 2^75-1 = 37778931862957161709567(23) =
7(1) × 31(2) × 151(3) × 601(3) × 1801(4) × 100801(6) × 10567201(8) × 1 Temps en seconde(s) : 0.061874

 

M__76 = 2^76-1 = 75557863725914323419135(23) =
3(1) × 5(1) × 229(3) × 457(3) × 525313(6) × 524287(6) × 174763(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.145446

 

M__77 = 2^77-1 = 151115727451828646838271(24) =
23(2) × 89(2) × 127(3) × 581283643249112959(18) × 1 Temps en seconde(s) : 0.154349

 

M__78 = 2^78-1 = 302231454903657293676543(24) =
3(1) × 3(1) × 7(1) × 79(2) × 2731(4) × 8191(4) × 121369(6) × 22366891(8) × 1 Temps en seconde(s) : 0.117375

 

M__79 = 2^79-1 = 604462909807314587353087(24) =
2687(4) × 202029703(9) × 1113491139767(13) × 1 Temps en seconde(s) : 2.256905

 

M__80 = 2^80-1 = 1208925819614629174706175(25) =
3(1) × 5(1) × 5(1) × 11(2) × 17(2) × 31(2) × 41(2) × 257(3) × 61681(5) × 4278255361(10) × 1 Temps en seconde(s) : 0.066193

 

M__81 = 2^81-1 = 2417851639229258349412351(25) =
7(1) × 73(2) × 2593(4) × 71119(5) × 262657(6) × 97685839(8) × 1 Temps en seconde(s) : 0.165829

 

M__82 = 2^82-1 = 4835703278458516698824703(25) =
3(1) × 83(2) × 13367(5) × 164511353(9) × 8831418697(10) × 1 Temps en seconde(s) : 0.626556

 

M__83 = 2^83-1 = 9671406556917033397649407(25) =
167(3) × 57912614113275649087721(23) × 1 Temps en seconde(s) : 0.293461

 

M__84 = 2^84-1 = 19342813113834066795298815(26) =
3(1) × 3(1) × 5(1) × 7(1) × 7(1) × 13(2) × 29(2) × 43(2) × 113(3) × 127(3) × 337(3) × 1429(4) × 5419(4) × 14449(5) × Temps en seconde(s) : 0.031094

 

M__85 = 2^85-1 = 38685626227668133590597631(26) =
31(2) × 131071(6) × 9520972806333758431(19) × 1 Temps en seconde(s) : 0.229431

 

M__86 = 2^86-1 = 77371252455336267181195263(26) =
3(1) × 431(3) × 9719(4) × 2099863(7) × 2932031007403(13) × 1 Temps en seconde(s) : 0.377058

 

M__87 = 2^87-1 = 154742504910672534362390527(27) =
7(1) × 233(3) × 1103(4) × 2089(4) × 4177(4) × 9857737155463(13) × 1 Temps en seconde(s) : 0.115468

 

M__88 = 2^88-1 = 309485009821345068724781055(27) =
3(1) × 5(1) × 17(2) × 23(2) × 89(2) × 353(3) × 397(3) × 683(3) × 2113(4) × 2931542417(10) × 1 Temps en seconde(s) : 0.055248

 

M__89 = 2^89-1 = 618970019642690137449562111(27) =
618970019642690137449562111(27) × 1 PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER Temps en seconde(s) : 1.110623

 

M__90 = 2^90-1 = 1237940039285380274899124223(28) =
3(1) × 3(1) × 3(1) × 7(1) × 11(2) × 19(2) × 31(2) × 73(2) × 151(3) × 331(3) × 631(3) × 23311(5) × 18837001(8) × 1 Temps en seconde(s) : 0.051574

 

M__91 = 2^91-1 = 2475880078570760549798248447(28) =
127(3) × 911(3) × 8191(4) × 112901153(9) × 23140471537(11) × 1 Temps en seconde(s) : 2.328416

 

M__92 = 2^92-1 = 4951760157141521099596496895(28) =
3(1) × 5(1) × 47(2) × 277(3) × 1013(4) × 1657(4) × 178481(6) × 30269(5) × 2796203(7) × 1 Temps en seconde(s) : 0.101921

 

M__93 = 2^93-1 = 9903520314283042199192993791(28) =
7(1) × 2147483647(10) × 658812288653553079(18) × 1 Temps en seconde(s) : 14.295108

 

M__94 = 2^94-1 = 19807040628566084398385987583(29) =
3(1) × 283(3) × 2351(4) × 4513(4) × 13264529(8) × 165768537521(12) × 1 Temps en seconde(s) : 0.579194

 

M__95 = 2^95-1 = 39614081257132168796771975167(29) =
31(2) × 191(3) × 524287(6) × 420778751(9) × 30327152671(11) × 1 Temps en seconde(s) : 2.670889

 

M__96 = 2^96-1 = 79228162514264337593543950335(29) =
3(1) × 3(1) × 5(1) × 7(1) × 13(2) × 17(2) × 97(2) × 193(3) × 241(3) × 257(3) × 673(3) × 65537(5) × 22253377(8) × 1 Temps en seconde(s) : 0.062759

 

M__97 = 2^97-1 = 158456325028528675187087900671(30) =
11447(5) × 13842607235828485645766393(26) × 1 Temps en seconde(s) : 0.441701

 

M__98 = 2^98-1 = 316912650057057350374175801343(30) =
3(1) × 43(2) × 127(3) × 4363953127297(13) × 4432676798593(13) × 1 Temps en seconde(s) : 109.166679

 

M__99 = 2^99-1 = 633825300114114700748351602687(30) =
7(1) × 23(2) × 73(2) × 89(2) × 199(3) × 153649(6) × 599479(6) × 33057806959(11) × 1 Temps en seconde(s) : 0.228902

 

M__100 = 2^100-1 = 1267650600228229401496703205375(31) =
3(1) × 5(1) × 5(1) × 5(1) × 11(2) × 31(2) × 41(2) × 101(3) × 251(3) × 601(3) × 1801(4) × 8101(4) × 4051(4) × 268501(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.055150

 

M__101 = 2^101-1 = 2535301200456458802993406410751(31) =
7432339208719(13) × 341117531003194129(18) × 1 Temps en seconde(s) : 339.596614

 

M__102 = 2^102-1 = 5070602400912917605986812821503(31) =
3(1) × 3(1) × 7(1) × 103(3) × 307(3) × 2143(4) × 2857(4) × 6529(4) × 11119(5) × 43691(5) × 131071(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.109578

 

M__103 = 2^103-1 = 10141204801825835211973625643007(32) =
2550183799(10) × 3976656429941438590393(22) × 1 Temps en seconde(s) : 14.061908

 

M__104 = 2^104-1 = 20282409603651670423947251286015(32) =
3(1) × 5(1) × 17(2) × 53(2) × 157(3) × 1613(4) × 2731(4) × 8191(4) × 858001(6) × 308761441(9) × 1 Temps en seconde(s) : 0.217423

 

M__105 = 2^105-1 = 40564819207303340847894502572031(32) =
7(1) × 7(1) × 31(2) × 71(2) × 127(3) × 151(3) × 337(3) × 152041(6) × 106681(6) × 29191(5) × 122921(6) × 1 Temps en seconde(s) : 0.116471

 

M__106 = 2^106-1 = 81129638414606681695789005144063(32) =
3(1) × 107(3) × 6361(4) × 69431(5) × 20394401(8) × 28059810762433(14) × 1 Temps en seconde(s) : 1.452694

 

M__107 = 2^107-1 = 162259276829213363391578010288127(33) =
162259276829213363391578010288127(33) × 1 PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER Temps en seconde(s) : 1.910127

 

M__108 = 2^108-1 = 324518553658426726783156020576255(33) =
3(1) × 3(1) × 3(1) × 3(1) × 5(1) × 7(1) × 13(2) × 19(2) × 37(2) × 73(2) × 109(3) × 87211(5) × 279073(6) × 262657(6) × 246241(6) × Temps en seconde(s) : 0.273271

 

M__109 = 2^109-1 = 649037107316853453566312041152511(33) =
745988807(9) × 870035986098720987332873(24) × 1 Temps en seconde(s) : 10.680712

 

M__110 = 2^110-1 = 1298074214633706907132624082305023(34) =
3(1) × 11(2) × 11(2) × 23(2) × 31(2) × 89(2) × 683(3) × 881(3) × 2971(4) × 3191(4) × 201961(6) × 48912491(8) × 1 Temps en seconde(s) : 0.114724

 

M__111 = 2^111-1 = 2596148429267413814265248164610047(34) =
7(1) × 223(3) × 321679(6) × 26295457(8) × 616318177(9) × 319020217(9) × 1 Temps en seconde(s) : 2.167669

 

M__112 = 2^112-1 = 5192296858534827628530496329220095(34) =
3(1) × 5(1) × 17(2) × 29(2) × 43(2) × 113(3) × 127(3) × 257(3) × 5153(4) × 15790321(8) × 54410972897(11) × 1 Temps en seconde(s) : 0.577667

 

M__113 = 2^113-1 = 10384593717069655257060992658440191(35) =
3391(4) × 65993(5) × 23279(5) × 1868569(7) × 1066818132868207(16) × 1 Temps en seconde(s) : 0.453087

 

M__114 = 2^114-1 = 20769187434139310514121985316880383(35) =
3(1) × 3(1) × 7(1) × 571(3) × 32377(5) × 174763(6) × 1212847(7) × 524287(6) × 160465489(9) × 1 Temps en seconde(s) : 0.476220

 

M__115 = 2^115-1 = 41538374868278621028243970633760767(35) =
31(2) × 47(2) × 14951(5) × 4036961(7) × 178481(6) × 2646507710984041(16) × 1 Temps en seconde(s) : 0.410467

 

M__116 = 2^116-1 = 83076749736557242056487941267521535(35) =
3(1) × 5(1) × 59(2) × 233(3) × 1103(4) × 2089(4) × 3033169(7) × 107367629(9) × 536903681(9) × 1 Temps en seconde(s) : 1.224905

 

M__117 = 2^117-1 = 166153499473114484112975882535043071(36) =
7(1) × 73(2) × 79(2) × 937(3) × 8191(4) × 6553(4) × 121369(6) × 86113(5) × 7830118297(10) × 1 Temps en seconde(s) : 0.234257

 

M__118 = 2^118-1 = 332306998946228968225951765070086143(36) =
3(1) × 2833(4) × 37171(5) × 179951(6) × 1824726041(10) × 3203431780337(13) × 1 Temps en seconde(s) : 3.958981

 

M__119 = 2^119-1 = 664613997892457936451903530140172287(36) =
127(3) × 239(3) × 131071(6) × 20231(5) × 62983048367(11) × 131105292137(12) × 1 Temps en seconde(s) : 83.686294

 

M__120 = 2^120-1 = 1329227995784915872903807060280344575(37) =
3(1) × 3(1) × 5(1) × 5(1) × 7(1) × 11(2) × 13(2) × 17(2) × 31(2) × 41(2) × 61(2) × 151(3) × 241(3) × 331(3) × 1321(4) × 61681(5) × 4562284561(10) × 1 Temps en seconde(s) : 0.146708

 

M__121 = 2^121-1 = 2658455991569831745807614120560689151(37) =
23(2) × 89(2) × 727(3) × 1786393878363164227858270210279(31) × 1 Temps en seconde(s) : 0.700558

 

M__123 = 2^123-1 = 10633823966279326983230456482242756607(38) =
7(1) × 13367(5) × 3887047(7) × 164511353(9) × 177722253954175633(18) × 1 Temps en seconde(s) : 1.523651

 

M__124 = 2^124-1 = 21267647932558653966460912964485513215(38) =
3(1) × 5(1) × 5581(4) × 49477(5) × 8681(4) × 384773(6) × 715827883(9) × 2147483647(10) × 1 Temps en seconde(s) : 1.650659

 

M__125 = 2^125-1 = 42535295865117307932921825928971026431(38) =
31(2) × 601(3) × 1801(4) × 269089806001(12) × 4710883168879506001(19) × 1 Temps en seconde(s) : 134.247035

 

M__126 = 2^126-1 = 85070591730234615865843651857942052863(38) =
3(1) × 3(1) × 3(1) × 7(1) × 7(1) × 19(2) × 43(2) × 73(2) × 127(3) × 337(3) × 5419(4) × 92737(5) × 649657(6) × 77158673929(11) × 1 Temps en seconde(s) : 0.351213

 

M__127 = 2^127-1 = 170141183460469231731687303715884105727(39) =
170141183460469231731687303715884105727(39) × 1 PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER PREMIER Temps en seconde(s) : 3.194471

 

M__128 = 2^128-1 = 340282366920938463463374607431768211455(39) =
3(1) × 5(1) × 17(2) × 257(3) × 641(3) × 65537(5) × 274177(6) × 6700417(7) × 67280421310721(14) × 1 Temps en seconde(s) : 0.818332

 

M__129 = 2^129-1 = 680564733841876926926749214863536422911(39) =
7(1) × 431(3) × 9719(4) × 2099863(7) × 11053036065049294753459639(26) × 1 Temps en seconde(s) : 0.757458

 

M__130 = 2^130-1 = 1361129467683753853853498429727072845823(40) =
3(1) × 11(2) × 31(2) × 131(3) × 2731(4) × 8191(4) × 409891(6) × 7623851(7) × 145295143558111(15) × 1 Temps en seconde(s) : 0.963254

 

M__131 = 2^131-1 = 2722258935367507707706996859454145691647(40) =
263(3) × 10350794431055162386718619237468234569(38) × 1 Temps en seconde(s) : 1.214412

 

M__132 = 2^132-1 = 5444517870735015415413993718908291383295(40) =
3(1) × 3(1) × 5(1) × 7(1) × 13(2) × 23(2) × 67(2) × 89(2) × 397(3) × 683(3) × 2113(4) × 20857(5) × 312709(6) × 599479(6) × 4327489(7) × 1 Temps en seconde(s) : 0.289144

 

M__133 = 2^133-1 = 10889035741470030830827987437816582766591(41) =
127(3) × 524287(6) × 163537220852725398851434325720959(33) × 1 Temps en seconde(s) : 1.313349

 

M__134 = 2^134-1 = 21778071482940061661655974875633165533183(41) =
3(1) × 7327657(7) × 193707721(9) × 761838257287(12) × 6713103182899(13) × 1 Temps en seconde(s) : 111.577564

 

M__135 = 2^135-1 = 43556142965880123323311949751266331066367(41) =
7(1) × 31(2) × 73(2) × 151(3) × 271(3) × 631(3) × 23311(5) × 348031(6) × 262657(6) × 49971617830801(14) × 1 Temps en seconde(s) : 0.361143

 

M__136 = 2^136-1 = 87112285931760246646623899502532662132735(41) =
3(1) × 5(1) × 17(2) × 17(2) × 137(3) × 953(3) × 26317(5) × 131071(6) × 43691(5) × 354689(6) × 2879347902817(13) × 1 Temps en seconde(s) : 0.423485

 

M__138 = 2^138-1 = 348449143727040986586495598010130648530943(42) =
3(1) × 3(1) × 7(1) × 47(2) × 139(3) × 178481(6) × 2796203(7) × 168749965921(12) × 10052678938039(14) × 1 Temps en seconde(s) : 28.462524

 

M__139 = 2^139-1 = 696898287454081973172991196020261297061887(42) =
5625767248687(13) × 123876132205208335762278423601(30) × 1 Temps en seconde(s) : 2058.215868

 

M__140 = 2^140-1 = 1393796574908163946345982392040522594123775(43) =
3(1) × 5(1) × 5(1) × 11(2) × 29(2) × 31(2) × 41(2) × 43(2) × 71(2) × 113(3) × 127(3) × 281(3) × 122921(6) × 86171(5) × 7416361(7) × 47392381(8) × 1 Temps en seconde(s) : 0.345962

 

M__141 = 2^141-1 = 2787593149816327892691964784081045188247551(43) =
7(1) × 2351(4) × 4513(4) × 13264529(8) × 4375578271(10) × 646675035253258729(18) × 1 Temps en seconde(s) : 16.111745

 

M__142 = 2^142-1 = 5575186299632655785383929568162090376495103(43) =
3(1) × 228479(6) × 212885833(9) × 56409643(8) × 48544121(8) × 13952598148481(14) × 1 Temps en seconde(s) : 3.720195

 

M__143 = 2^143-1 = 11150372599265311570767859136324180752990207(44) =
23(2) × 89(2) × 8191(4) × 724153(6) × 158822951431(12) × 5782172113400990737(19) × 1 Temps en seconde(s) : 66.241051

 

M__144 = 2^144-1 = 22300745198530623141535718272648361505980415(44) =
3(1) × 3(1) × 3(1) × 5(1) × 7(1) × 13(2) × 17(2) × 19(2) × 37(2) × 73(2) × 97(2) × 109(3) × 241(3) × 257(3) × 433(3) × 577(3) × 673(3) × 38737(5) × 487824887233(12) × 1 Temps en seconde(s) : 0.154265

 

M__145 = 2^145-1 = 44601490397061246283071436545296723011960831(44) =
31(2) × 233(3) × 1103(4) × 2089(4) × 2679895157783862814690027494144991(34) × 1 Temps en seconde(s) : 0.936695

 

M__146 = 2^146-1 = 89202980794122492566142873090593446023921663(44) =
3(1) × 439(3) × 1753(4) × 2298041(7) × 9361973132609(13) × 1795918038741070627(19) × 1 Temps en seconde(s) : 1148.264036

 

M__147 = 2^147-1 = 178405961588244985132285746181186892047843327(45) =
7(1) × 7(1) × 7(1) × 127(3) × 337(3) × 4432676798593(13) × 2741672362528725535068727(25) × 1 Temps en seconde(s) : 482.217768

 

M__148 = 2^148-1 = 356811923176489970264571492362373784095686655(45) =
3(1) × 5(1) × 149(3) × 223(3) × 593(3) × 1777(4) × 25781083(8) × 184481113(9) × 231769777(9) × 616318177(9) × 1 Temps en seconde(s) : 3.468503

 

M__150 = 2^150-1 = 1427247692705959881058285969449495136382746623(46) =
3(1) × 3(1) × 7(1) × 11(2) × 31(2) × 151(3) × 251(3) × 331(3) × 601(3) × 1801(4) × 4051(4) × 100801(6) × 10567201(8) × 1133836730401(13) × 1 Temps en seconde(s) : 0.870632

 

M__151 = 2^151-1 = 2854495385411919762116571938898990272765493247(46) =
18121(5) × 165799(6) × 55871(5) × 2332951(7) × 7289088383388253664437433(25) × 1 Temps en seconde(s) : 1.759978

 

M__152 = 2^152-1 = 5708990770823839524233143877797980545530986495(46) =
3(1) × 5(1) × 17(2) × 229(3) × 457(3) × 1217(4) × 525313(6) × 174763(6) × 148961(6) × 524287(6) × 24517014940753(14) × 1 Temps en seconde(s) : 0.663364

 

M__153 = 2^153-1 = 11417981541647679048466287755595961091061972991(47) =
7(1) × 73(2) × 103(3) × 919(3) × 2143(4) × 11119(5) × 131071(6) × 75582488424179347083438319(26) × 1 Temps en seconde(s) : 0.660849

 

M__154 = 2^154-1 = 22835963083295358096932575511191922182123945983(47) =
3(1) × 23(2) × 43(2) × 89(2) × 127(3) × 617(3) × 683(3) × 78233(5) × 35532364099(11) × 581283643249112959(18) × 1 Temps en seconde(s) : 58.571867

 

M__155 = 2^155-1 = 45671926166590716193865151022383844364247891967(47) =
31(2) × 31(2) × 311(3) × 11471(5) × 73471(5) × 4649919401(10) × 2147483647(10) × 18158209813151(14) × 1 Temps en seconde(s) : 14.068695

 

M__156 = 2^156-1 = 91343852333181432387730302044767688728495783935(47) =
3(1) × 3(1) × 5(1) × 7(1) × 13(2) × 13(2) × 53(2) × 79(2) × 157(3) × 313(3) × 1249(4) × 1613(4) × 2731(4) × 3121(4) × 8191(4) × 21841(5) × 121369(6) × 22366891(8) × 1 Temps en seconde(s) : 0.211030

 

M__157 = 2^157-1 = 182687704666362864775460604089535377456991567871(48) =
852133201(9) × 60726444167(11) × 1654058017289(13) × 2134387368610417(16) × 1 Temps en seconde(s) : 428.819124

 

M__158 = 2^158-1 = 365375409332725729550921208179070754913983135743(48) =
3(1) × 2687(4) × 202029703(9) × 1113491139767(13) × 201487636602438195784363(24) × 1 Temps en seconde(s) : 157.165306

 

M__159 = 2^159-1 = 730750818665451459101842416358141509827966271487(48) =
7(1) × 6679(4) × 69431(5) × 6361(4) × 540701761(9) × 13960201(8) × 20394401(8) × 229890275929(12) × 1 Temps en seconde(s) : 6.160888

 

M__160 = 2^160-1 = 1461501637330902918203684832716283019655932542975(49) =
3(1) × 5(1) × 5(1) × 11(2) × 17(2) × 31(2) × 41(2) × 257(3) × 65537(5) × 61681(5) × 414721(6) × 4278255361(10) × 44479210368001(14) × 1 Temps en seconde(s) : 13.576072

 

M__161 = 2^161-1 = 2923003274661805836407369665432566039311865085951(49) =
47(2) × 127(3) × 1289(4) × 178481(6) × 3188767(7) × 45076044553(11) × 14808607715315782481(20) × 1 Temps en seconde(s) : 129.128352

 

M__162 = 2^162-1 = 5846006549323611672814739330865132078623730171903(49) =
3(1) × 3(1) × 3(1) × 3(1) × 3(1) × 7(1) × 19(2) × 73(2) × 163(3) × 2593(4) × 87211(5) × 262657(6) × 135433(6) × 71119(5) × 272010961(9) × 97685839(8) × 1 Temps en seconde(s) : 2.461799

 

M__163 = 2^163-1 = 11692013098647223345629478661730264157247460343807(50) =
150287(6) × 704161(6) × 110211473(9) × 27669118297(11) × 36230454570129675721(20) × 1 Temps en seconde(s) : 89.678750

 

M__164 = 2^164-1 = 23384026197294446691258957323460528314494920687615(50) =
3(1) × 5(1) × 83(2) × 13367(5) × 181549(6) × 10169(5) × 43249589(8) × 12112549(8) × 164511353(9) × 8831418697(10) × 1 Temps en seconde(s) : 4.880545

 

M__165 = 2^165-1 = 46768052394588893382517914646921056628989841375231(50) =
7(1) × 23(2) × 31(2) × 89(2) × 151(3) × 881(3) × 3191(4) × 599479(6) × 201961(6) × 2048568835297380486760231(25) × 1 Temps en seconde(s) : 0.943280

 

M__166 = 2^166-1 = 93536104789177786765035829293842113257979682750463(50) =
3(1) × 167(3) × 499(3) × 1163(4) × 2657(4) × 155377(6) × 13455809771(11) × 57912614113275649087721(23) × 1 Temps en seconde(s) : 96.330702

 

M__167 = 2^167-1 = 187072209578355573530071658587684226515959365500927(51) =
2349023(7) × 79638304766856507377778616296087448490695649(44) × 1 Temps en seconde(s) : 3.242270

 

M__168 = 2^168-1 = 374144419156711147060143317175368453031918731001855(51) =
3(1) × 3(1) × 5(1) × 7(1) × 7(1) × 13(2) × 17(2) × 29(2) × 43(2) × 113(3) × 127(3) × 241(3) × 337(3) × 1429(4) × 3361(4) × 5419(4) × 14449(5) × 15790321(8) × 88959882481(11) × 1 Temps en seconde(s) : 1.213377

 

M__169 = 2^169-1 = 748288838313422294120286634350736906063837462003711(51) =
4057(4) × 8191(4) × 6740339310641(13) × 3340762283952395329506327023033(31) × 1 Temps en seconde(s) : 2527.257952