Cours de mathématiques : Placements égaux successifs à intérêts composés

Un homme dépose au commencement de chaque année une somme de 2050€ pendant 15 ans; quel est le capital qui lui sera dû au bout de ce temps, les intérêts étant composés au taux de 4,5% ?

Les valeurs acquises à l' époque du remboursement par les placements annuels sont :

pour la 1^ere, 2050×1,045¹⁵

pour la 2^éme, 2050×1,045¹⁴

pour la 3^éme, 2050×1,045¹³

...

pour la 14^éme, 2050×1,045²

pour la 15^éme, 2050×1,045

La somme due à cet homme au bout de 15 ans est le total de ces valeurs, c' est à dire

2050×1,045¹⁵ + 2050×1,045¹⁴ + ... ... + 2050×1,045² + 2050×1,045

ou en mettant 2050×1,045 en facteur commun,

2050×1,045 ( 1,045¹⁴ + 1,045¹³ + ... ...+ 1,045 + 1 ).

La quantité entre parenthèses est la somme des termes d' une progression géométrique, dont la raison est 1,045; cette quantité est égale à

( 1,045¹⁵ - 1) / (1,045 - 1) ou (1,045¹⁵ - 1) / 0,045.

En désignant par S la somme due au déposant, on aura

S = 2050×1,045 × (1,045¹⁵ - 1) / 0,045.

Soit S = 42 607,31 €.

FORMULE - Si on désigne par a le versement annuel, r le taux annuel par € et n le nombre des années. Le capital S constitué par les placements annuels est exprimé par la formule :

S = a × ( 1 + r ) × [ ( 1 + r )ⁿ - 1 ] / r

ou encore : .