cours de mathématiques : suite arithmétique

On appelle progression par différence ou suite arithmétique une suite de nombres tels que chacun surpasse le précédent d' une même quantité.

Par exemple, qu' on ajoute 3 à 2, ce qui donne 5; puis 3 à 5 ce qui donne 8; puis 3 à 8 ce qui donne 11 etc. La suite des nombres 2, 5, 8, 11 etc est une progression par différence.

Le nombre constant qui est ajouté à chaque terme pour former le suivant, est nommé raison de la progression.

Cette progression est dite progression par différence, parce que la différence entre deux termes consécutifs quelconques est constamment la même. On désigne aussi par le nom de progression arithmétique.

Formation d' un terme de rang quelconque

On peut trouver un terme de rang quelconque, sans former tous les termes précédents. En effet, représentons le premier terme d' une progression par a et la raison par r.

Le 1^er terme étant a, le 2^e terme sera a + r; le 3^e terme a + 2r; le 4^e terme a + 3r, etc.

Ainsi le 2^e est égale au 1^er plus la raison; le 3^e est égal au 1^er plus 2 fois la raison; le 4^e est égal au 1^er plus 3 fois la raison, etc.

De là la règle :

Un terme de rang quelconque est égale au premier terme plus la raison multipliée par le nombre des termes qu' il y a avant lui.

Si l' on représente par n le nombre qui indique le rang dans la progression, la règle précédente sera exprimée par la formule suivante :

a + r × ( n - 1 ).

Par exemple le 100^e terme de la progression écrite plus haut, qui a 2 pour le premier terme et 3 pour raison, sera

2 + 3 × 99 = 2 + 297 = 299.

en notant u_n le terme de la progression de rang n, on obtient l' écriture suivante :

u_n = a + r × ( n - 1 ). [ i ]

de cette façon on a, u₁ = a, u₂ = a + r, u₃ = a + 2r etc.