cours de mathématiques : suite arithmétique

Suite arithmétique

On appelle progression par différence ou suite arithmétique une suite de nombres telle que la différence entre deux termes consécutifs est constante.

Par exemple : le premier terme de la suite est 2, on lui ajoute 3, ce qui donne. On ajoute ensuite 3 à 5, ce qui donne 8 ; puis 3 à 8 ce qui donne 11 etc. La suite des nombres 2, 5, 8, 11, ... est une suite arithmétique.

Le nombre constant, qui est ajouté à chaque terme pour obtenir le suivant, est nommé raison de la suite arithmétique.

Formation d'un terme de rang quelconque d'une suite arithmétique

Il n'est pas nécessaire de connaître les termes précédents d'une suite arithmétique pour trouver le terme d'un rang donné. En effet, soit a le premier terme d'une suite arithmétique de raison r.

Le 1er terme étant a, le 2ème terme sera a + r, le 3ème terme a + 2r, le 4ème terme a + 3r, etc.

Ainsi le 2ème est égal au 1er plus la raison; le 3ème est égal au 1er plus 2 fois la raison; le 4ème est égal au 1er plus 3 fois la raison, etc.

On en déduit que le nième terme est a + (n-1) × r.

Le nième terme d'une suite arithmétique est égal à la somme du premier terme et du produit de la raison par (n-1).

Le nième terme de la suite est donc donnée par la formule suivante : a + r ( n − 1 ) .

Par exemple, le 100ème terme de la progression écrite plus haut, qui a 2 pour premier terme et 3 pour raison, sera :

2 + 3 × 99 = 2 + 297 = 299.

En notant un le terme de la progression de rang n, on obtient l'écriture suivante :

un = a + r ( n − 1). [ i ]

De cette façon, on a, u1 = a, u2 = a + r, u3 = a + 2r et donc un = a + (n-1)r .

Propriétés des suites arithmétiques :

P1 : un+p = un + pr . [ ii ]

P2 : un+p = a + r × ( n + p − 1). [ iii ]

P3 : Les réels a,b et c, dans cet ordre, sont 3 termes consécutifs d'une suite arithmétique si et seulement si

b est la moyenne arithmétique des nombres a et c, c'est-à-dire si 2b = a + c.

Monotonie d'une suite arithmétique

Une suite arithmétique de raison r est :

- strictement croissante si, et seulement si, r est strictement positif;

- strictement décroissante si, et seulement si, r est strictement négatif;

- constante si, et seulement si, r est nul.


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