Le rectangle d'or
Le rectangle d'or est par définition un rectangle dont le rapport entre sa base et sa hauteur est égal au nombre d'or.
Ainsi, un rectangle d'or dont la hauteur vaut 1 possédera une longueur égale au nombre d'or.
Construction du rectangle d'or
La construction d'un rectangle d'or est simple : il suffit de suivre les instructions suivantes :
- tracer un carré ABDC ;
- noter E le milieu de [AB] ;
- tracer un cercle C de centre E et de rayon EC ;
- prolonger le segment [AB] au-delà de B jusqu'à ce qu'il coupe le cercle ;
- noter J le point d'intersection de (AB) et du cercle C ;
- tracer la perpendiculaire à (AB) passant par J ;
- prolonger le segment [CD] au-delà de D jusqu'à ce qu'il coupe la perpendiculaire ;
- noter I le point d'intersection.
Le rectangle AJIC obtenu est un rectangle d'or :
Le rectangle AJIC est un rectangle d'or, mais le rectangle BJID est lui aussi un rectangle d'or.
La spirale de Fibonacci
On peut ainsi tracer la spirale de Fibonacci.
À partir d'un rectangle d'or, on construit les rectangles d'or successifs en retirant le carré obtenu à partir de la hauteur du rectangle et ainsi on obtient le rectangle suivant.
La spirale s'obtient en traçant le quart de cercle adéquat dans chaque carré.
Dans la figure de construction, la diagonale (CJ) du rectangle AJIC et la diagonale (BI) du rectangle BJID sont perpendiculaires. Chacun des rectangles d'or suivants a une diagonale portée par l'une de ces deux droites : toutes ces diagonales passent donc par le point d'intersection de (CJ) et (BI). Ce point est la limite (le centre) de la spirale.