La somme des carrés des n premiers entiers

La suite des carrés des n premiers entiers est 1, 4 , 9, 16, 25, ... , n² − 2n + 1 , n² . Elle peut encore s'écrire sous la forme 1², 2², 3², 4², ... , (n − 1)² , n².

Nous pouvons ainsi définir 3 suites S_n , S_n² et S_n³.

S_n est la somme des n premiers entiers. S_n = 1 + 2 + 3 + 4 + ... ... + n.

S_n² est la somme des n premiers carrés. S_n² = 1² + 2² + 3² + 4² + ... ... + n².

S_n³ est la somme des n premiers cubes. S_n³ = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + ... ... + n³.

Cherchons une formule pour la somme des n premiers carrés.

Il faut utiliser le développement du terme ( n + 1 )³ qui donne :

(n + 1)³ = (n + 1) (n + 1)² = (n + 1) (n² + 2n + 1) = n³ + 3n² + 3n + 1.

En appliquant cette formule à chaque cube de ( n + 1 ) à 1, on obtient les égalités suivantes :

( n + 1 )³ = n³ + 3n² + 3n + 1

n³ = ( n − 1 )³ + 3 ( n − 1 )² + 3( n − 1 ) + 1

( n − 1 )³ = ( n − 2 )³ + 3 ( n − 2 )² + 3( n − 2 ) + 1

( n − 2 )³ = ( n − 3 )³ + 3 ( n − 3 )² + 3( n − 3 ) + 1

...

...

( 3 )³ = ( 2 )³ + 3 ( 2 )² + 3( 2 ) + 1

( 2 )³ = ( 1 )³ + 3 ( 1 )² + 3( 1 ) + 1

( 1 )³ = ( 0 )³ + 3 ( 0 )² + 3( 0 ) + 1

En effectuant la somme membre à membre des égalités précédentes, en utilisant les notations définies plus haut, on obtient :

S_n+1³ = S_n³ + 3S_n² + 3S_n + n + 1

Il vient alors :

S_n+1³ − S_n³ = 3S_n² + 3S_n + n + 1

( n + 1 )³ = 3S_n² + 3S_n + n + 1

3S_n² = ( n + 1 )³ − 3S_n − n − 1

Or, S_n = 1 + 2 + ... + n = n ( n + 1 ) / 2. D'où :

3S_n² = ( n + 1 )³ − 3[ n( n + 1 ) / 2 ] − n − 1

6S_n² = 2( n³ + 3n² + 3n + 1 ) − 3n( n + 1 ) − 2n − 2

6S_n² = 2n³ + 6n² + 6n + 2 − 3n² − 3n − 2n − 2

6S_n² = 2n³ + 3n² + n

6S_n² = n( 2n² + 3n + 1 )

6S_n² = n( n + 1 )( 2n + 1 ).

La formule de la somme des carrés des n premiers entiers est donc :

1² + 2² + 3² + 4² + ... ... + n² = n(n + 1)(2n + 1) / 6

ou encore : 1² + 2² + 3² + 4² + ... ... + n² = .

On pose : S_2n² = 2² + 4² + 6² + ... ... + (2n)²

On en déduit donc que la somme des carrés des n premiers entiers pairs est :

S_2n² = 2².1² + 2².2² + 2².3² + ... ... + 2².n²

S_2n² = 2² × ( 1² + 2² + 3² + 4² + ... ... + n² )

S_2n² = 2² × n ( n + 1 )( 2n + 1 ) / 6

S_2n² = 2n ( n + 1 )( 2n + 1 ) / 3.

La somme des carrés des n premiers entiers pairs est :

2² + 4² + 6² + ... ... + (2n)² = 2n( n + 1 )( 2n + 1 ) / 3

ou encore : 2² + 4² + 6² + ... ... + (2n)² = .

On pose : S_2n−1² = 1² + 3² + 5² + ... ... + ( 2n − 1 )²

De même la somme des carrés des n premiers entiers impairs :

S_2n−1² = 1² + 2² + 3² + 4² + ... ... + (2n)² − [ 2² + 4² + 6² + ... ... + (2n)² ]

S_2n−1² = 2n( 2n + 1 )( 4n + 1 ) / 6 − [ 2n( n + 1 )( 2n + 1 ) / 3 ]

S_2n−1² = 2n( 2n + 1 )[ 4n + 1 − 2( n + 1 ) ] / 6

S_2n−1² = 2n( 2n + 1 )( 2n − 1 ) / 6

S_2n−1² = n( 2n + 1 )( 2n − 1 ) / 3.

La somme des carrés des n premiers entiers impairs est :

1² + 3² + 5² + ... ... + ( 2n − 1 )² = n( 2n − 1 )( 2n + 1 ) / 3

ou encore : 1² + 3² + 5² + ... ... + ( 2n − 1 )² = .