Somme des carrés des n premiers entiers

La suite des carrés des n premiers entiers est 1, 4, 9, 16, 25, …, (n − 1)², n².

Elle peut encore s'écrire sous la forme 1², 2², 3², 4², …, (n − 1)², n².

Nous pouvons ainsi définir 3 suites S_n, S_n⁽²⁾ et S_n⁽³⁾. Attention : le nombre entre parenthèses n'est pas un exposant ; il indique la puissance à laquelle sont élevés les nombres que l'on additionne.

S_n est la somme des n premiers entiers. S_n = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n.

S_n⁽²⁾ est la somme des n premiers carrés. S_n⁽²⁾ = 1² + 2² + 3² + 4² + … + n².

S_n⁽³⁾ est la somme des n premiers cubes. S_n⁽³⁾ = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + … + n³.

Cherchons une formule pour la somme des n premiers carrés.

Il faut utiliser le développement du terme (n + 1)³, qui donne :

(n + 1)³ = (n + 1) (n + 1)² = (n + 1) (n² + 2n + 1) = n³ + 3n² + 3n + 1.

En appliquant cette formule à chaque cube, de (n + 1)³ jusqu'à 1³, on obtient les égalités suivantes :

(n + 1)³ = n³ + 3n² + 3n + 1 ;

n³ = (n − 1)³ + 3 (n − 1)² + 3(n − 1) + 1 ;

(n − 1)³ = (n − 2)³ + 3 (n − 2)² + 3(n − 2) + 1 ;

(n − 2)³ = (n − 3)³ + 3 (n − 3)² + 3(n − 3) + 1 ;

…

…

(3)³ = (2)³ + 3 (2)² + 3(2) + 1 ;

(2)³ = (1)³ + 3 (1)² + 3(1) + 1 ;

(1)³ = (0)³ + 3 (0)² + 3(0) + 1.

En effectuant la somme membre à membre des égalités précédentes, en utilisant les notations définies plus haut, on obtient :

S_n+1⁽³⁾ = S_n⁽³⁾ + 3S_n⁽²⁾ + 3S_n + n + 1.

Il vient alors :

S_n+1⁽³⁾ − S_n⁽³⁾ = 3S_n⁽²⁾ + 3S_n + n + 1.

Or S_n+1⁽³⁾ − S_n⁽³⁾ = (n + 1)³, d'où :

(n + 1)³ = 3S_n⁽²⁾ + 3S_n + n + 1 ;

3S_n⁽²⁾ = (n + 1)³ − 3S_n − n − 1.

Or, S_n = 1 + 2 + … + n = n(n + 1) / 2. D'où :

3S_n⁽²⁾ = (n + 1)³ − 3[n(n + 1) / 2] − n − 1.

En multipliant par 2 :

6S_n⁽²⁾ = 2(n³ + 3n² + 3n + 1) − 3n(n + 1) − 2n − 2 ;

6S_n⁽²⁾ = 2n³ + 6n² + 6n + 2 − 3n² − 3n − 2n − 2 ;

6S_n⁽²⁾ = 2n³ + 3n² + n ;

6S_n⁽²⁾ = n(2n² + 3n + 1) ;

6S_n⁽²⁾ = n(n + 1)(2n + 1).

On peut poursuivre avec la somme des carrés des n premiers entiers pairs.

Posons P_n = 2² + 4² + 6² + … + (2n)². Comme (2k)² = 2² × k², on obtient :

P_n = 2² × 1² + 2² × 2² + 2² × 3² + … + 2² × n² ;

P_n = 2² × (1² + 2² + 3² + 4² + … + n²) ;

P_n = 2² × n(n + 1)(2n + 1) / 6 ;

P_n = 2n(n + 1)(2n + 1) / 3.

On peut poursuivre avec la somme des carrés des n premiers entiers impairs.

Posons I_n = 1² + 3² + 5² + … + (2n − 1)².

On l'obtient en retirant les carrés des nombres pairs de la somme des carrés de 1 à 2n, c'est-à-dire I_n = S_2n⁽²⁾ − P_n :

I_n = 1² + 2² + 3² + 4² + … + (2n)² − [2² + 4² + 6² + … + (2n)²].

En remplaçant n par 2n dans la formule de S_n⁽²⁾, on a S_2n⁽²⁾ = 2n(2n + 1)(4n + 1) / 6. D'où :

I_n = 2n(2n + 1)(4n + 1) / 6 − [2n(n + 1)(2n + 1) / 3] ;

I_n = 2n(2n + 1)[4n + 1 − 2(n + 1)] / 6 ;

I_n = 2n(2n + 1)(2n − 1) / 6 ;

I_n = n(2n + 1)(2n − 1) / 3.