La somme des cubes des n premiers entiers
La suite des cubes des n premiers entiers est 1, 8 , 27, 64, 125, ... , n3. Elle peut encore s'écrire sous la forme 13, 23, 33, 43, ... , (n−1)3, n3.
Nous pouvons ainsi définir 4 suites Sn , Sn2 , Sn3 et Sn4.
Sn est la somme des n premiers entiers. Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... ... + n.
Sn2 est la somme des n premiers carrés. Sn2 = 12 + 22 + 32 + 42 + ... ... + n2.
Sn3 est la somme des n premiers cubes. Sn3 = 13 + 23 + 33 + 43 + ... ... + n3.
Sn4 la somme des n premières puissances quatrièmes. Sn4 = 14 + 24 + 34 + 44 + ... ... + n4.
Cherchons une formule pour la somme des n premiers cubes.
La méthode est identique à celle employée pour la somme des n premiers carrés, il faut utiliser le développement du terme (n + 1)4 qui donne :
(n +1)4 = (n +1) (n +1)3 = (n +1) (n3 + 3n2 + 3n + 1) = n4 + 4n3 + 6n2 + 4n + 1.
En appliquant cette formule à chaque cube de ( n + 1 ) à 1, on obtient les égalités suivantes :
( n + 1 )4 = n4 + 4n3 + 6n2 + 4n + 1
n4 = ( n − 1 )4 + 4 ( n − 1 )3 + 6 ( n − 1 )2 + 4( n − 1 ) + 1
...
...
( 2 )4 = ( 1 )4 + 4 ( 1 )3 + 6( 1 )2 + 4( 1 ) + 1
( 1 )4 = ( 0 )4 + 4 ( 0 )3 + 6( 0 )2 + 4( 0 ) + 1
En effectuant la somme membre à membre des égalités précédentes, en utilisant les notations définies plus haut, on obtient :
Sn+14 = Sn4 + 4Sn3 + 6Sn2 + 4Sn + n + 1
Il vient alors :
( n + 1 )4 = 4Sn3 + 6Sn2 + 4Sn + n + 1
4Sn3 = ( n + 1 )4 − 6Sn2 − 4Sn − n − 1
Or, Sn = 1 + 2 + ... + n = n ( n + 1 ) / 2 et 12 + 22 + 32 + 42 + ... ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1) / 6 .
Après toutes les simplifications possibles, on obtient :
4Sn3 = n2 ( n + 1 )2 .
La formule pour la somme des cubes des n premiers est donc :
13 + 23 + 33 + 43 + ... ... + n3 = n2 ( n + 1 )2 / 4
ou encore : 13 + 23 + 33 + 43 + ... ... + n3 = 
.
On remarque alors que :
Sn3 = [ n ( n + 1 ) / 2 ]2 = [ Sn ]2 ( attention à ne pas confondre avec la notation définie plus haut Sn2 )
c'est-à dire que :
13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + 4 + ... + n)2
ou encore :
ou encore 
.
La somme des n premiers cubes est égale à la somme des n premiers entiers élevée au carré.
On pose : S2n3 = 23 + 43 + 63 + ... ... + (2n)3
On en déduit donc que la somme des cubes des n premiers entiers pairs est :
S2n3 = 23.13 + 23.23 + ... ... + 23.n3
S2n3 = 23 ( 13 + 23 + ... ... + n3 )
S2n3 = 8 × n2 ( n + 1 )2 / 4 = 2 × n2 ( n + 1 )2.
La somme des cubes des n premiers entiers pairs est :
23 + 43 + 63 + ... ... + (2n)3 = 2n2 ( n + 1 )2
ou encore : 23 + 43 + 63 + ... ... + (2n)3 = 
On pose : S2n−13 = 13 + 33 + 53 + ... ... + ( 2n − 1 )3
De même, la somme des cubes des n premiers entiers impairs est
S2n−13 = 13 + 23 + 33 + 43 + ... ... + (2n)3 − [ 23 + 43 + 63 + ... ... + (2n)3 ]
S2n−13 = 4 n2 (2 n + 1 )2 / 4 − [ 2n2( n + 1 )2 ]
S2n−13 = n2 (2 n + 1 )2 − 2n2( n + 1 )2
S2n−13 = n2[ (2 n + 1 )2 − 2 ( n + 1 )2 ]
S2n−13 = n2 [ 4n2 + 4n + 1 − 2n2 − 4n − 2 ]
S2n−13 = n2 [ 2n2 − 1 ]
La somme des cubes des n premiers entiers impairs est :
13 + 33 + 53 + ... ... + ( 2n − 1 ) = n2 ( 2n2 − 1 )
ou encore : 13 + 33 + 53 + ... ... + ( 2n − 1 ) = 
.