Somme des n premiers entiers naturels

Trouver la somme des 50 premiers entiers naturels non nuls

La suite des nombres entiers est une suite arithmétique dont la raison est 1.

La somme des 50 premiers nombres entiers non nuls est donc :

1 + 2 + … + 49 + 50 = 50 × (1 + 50) / 2 = 1275.

Gauss, enfant prodige, et la somme des 100 premiers entiers non nuls

On raconte qu'entre 7 et 10 ans, Carl Friedrich Gauss, mathématicien de génie, aurait trouvé une façon de calculer très rapidement la somme des nombres entiers de 1 à 100, à la grande surprise de son professeur.

En effet, il remarqua qu'en additionnant les premier et dernier termes, on obtenait 101, de même qu'en additionnant le deuxième et l'avant-dernier, le troisième et l'avant-avant-dernier, et ainsi de suite.

On obtient donc :

1 + 100 = 101 ;

2 + 99 = 101 ;

3 + 98 = 101 ;

…

49 + 52 = 101 ;

50 + 51 = 101.

Cela donne 50 sommes toutes égales à 101. On obtient donc :

1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 = 50 × 101 = 5 050.

Somme des n premiers nombres entiers

On montre de même que la somme des n premiers entiers non nuls est égale à n × (n + 1) / 2.

Démonstration

On nomme S_n la somme des n premiers entiers non nuls :

S_n = 1 + 2 + 3 + … + n ;

S_n = n + (n − 1) + … + 2 + 1.

En additionnant ces deux égalités terme à terme, on obtient n fois le nombre (n + 1) :

2 × S_n = (n + 1) + (n + 1) + … + (n + 1) + (n + 1) ;

2 × S_n = n × (n + 1).

Donc :

$1+2+3+\dots +n$ = $\frac{n\times \left(n+1\right)}{2}$.

Somme des n premiers nombres impairs

La suite des nombres impairs forme aussi une suite arithmétique, dont la raison est 2. Pour trouver la somme des 50 premiers nombres impairs, il faut d'abord connaître le 50^e terme ; il est égal à :

u₅₀ = 1 + 2 × (50 − 1) = 1 + 2 × 49 = 99.

La somme des extrêmes est égale à :

1 + (1 + 2 × 49), c'est-à-dire 2 + 2 × 49.

La somme des 50 premiers termes est donc :

1 + 3 + … + 97 + 99 = [(2 + 2 × 49) / 2] × 50 = (1 + 49) × 50 = 50².

Ainsi la somme des 50 premiers nombres impairs est égale au carré de 50. Il en est toujours ainsi, quel que soit le nombre de termes additionnés. Il vient donc :

Démonstration

Pour tout n entier naturel non nul, on a : u₁ = 1 et u_n = u₁ + r × (n − 1) = 1 + 2(n − 1).

On pose :

S_n = u₁ + u₂ + … + u_n ;

S_n = n × [u₁ + u_n] / 2 ;

S_n = n × [1 + 1 + 2(n − 1)] / 2 ;

S_n = n × [2 + 2(n − 1)] / 2 ;

S_n = n × 2[1 + n − 1] / 2 ;

S_n = n × n.

On obtient S_n = n².

Vous pouvez retrouver la démonstration par récurrence de S_n = n² sur la page consacrée au raisonnement par récurrence.

Somme des n premiers nombres pairs

La somme des n premiers entiers pairs non nuls se déduit facilement de la somme des n premiers entiers :

S = 2 + 4 + … + 2n ;

S = 2 × (1 + 2 + … + n) ;

S = 2 × n × (n + 1) / 2 ;

S = n × (n + 1).