Somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique

On peut trouver la somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique en connaissant le premier et le dernier termes.

On note S_n = u₁ + u₂ + … + u_n−1 + u_n la somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique.

Le premier terme est u₁ = a et la raison est r. D'après la formule u_n = a + r × (n − 1) (voir la définition des suites arithmétiques), la somme devient :

S_n = a + (a + r) + … + [a + r × (n − 2)] + [a + r × (n − 1)].

On peut également réécrire cette somme dans l'ordre décroissant des rangs des termes, c'est-à-dire :

S_n = u_n + u_n−1 + … + u₂ + u₁ ;

S_n = [a + r × (n − 1)] + [a + r × (n − 2)] + … + (a + r) + a.

On additionne les deux expressions de S_n obtenues :

S_n =	[ a ]	+ [ a + r ]	+ …	+ [ a + r × ( n − 2 )]	+ [ a + r × ( n − 1 ) ]
S_n =	[ a + r × ( n − 1 )]	+ [ a + r × ( n − 2 )]	+ …	+ [ a + r ]	+ [ a ]

Ce qui donne :

2S_n = [ a + a + r × ( n − 1 ) ] + [ a + r + a + r × ( n − 2 ) ] + … + [ a + r × ( n − 1) + a ].

On obtient :

2S_n = [ 2a + r × ( n − 1) ] + [ 2a + r × (n − 2 + 1) ] + … + [ 2a + r × (n − 1) ] ;

2S_n = [ 2a + r × (n − 1) ] + [ 2a + r × (n − 1) ] + … + [ 2a + r × (n − 1) ].

Comme il y a n crochets, tous égaux à 2a + r × (n − 1), on obtient :

2S_n = n × [ 2a + r × (n − 1) ] ;

2S_n = n × [ a + a + r × (n − 1) ].

Comme u₁ = a et u_n = a + r × (n − 1), on obtient :

2S_n = n × [ u₁ + u_n ].

En divisant par 2, on obtient :

S_n = n × (u₁ + u_n) / 2.

Nous trouvons ainsi la règle suivante :

La somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique est égale à la demi-somme des premier et dernier termes, multipliée par le nombre de termes.

Formule de la somme des termes d'une suite arithmétique

Cette règle est exprimée par la formule :

$u_{1} + \dots + u_{n}$ = $n \times \frac{u_{1} + u_{n}}{2}$ .

Attention : si le premier terme est $u_{0}$ , la formule devient :

$u_{0} + \dots + u_{n}$ = $(n + 1) \times \frac{u_{0} + u_{n}}{2}$ .

Et pour la somme des termes de $u_{p}$ à $u_{n}$ , la formule est :

$u_{p} + \dots + u_{n}$ = $(n - p + 1) \times \frac{u_{p} + u_{n}}{2}$ .