cours de mathématiques :Somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique.

Somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique

On peut trouver la somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique en connaissant le premier et le dernier termes.

On note : Sn = u1 + u2 + ... + un−1 + un la somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique.

D'après la formule [ i ], la somme devient :

Sn = a + a + r + ... + a + r × ( n − 2 ) + a + r × ( n − 1 ).

On peut également réécrire cette somme dans l'ordre décroissant des rangs des termes, c'est-à-dire :

Sn = un + un−1 + ... + u2 + u1

Sn = a + r × ( n − 1) + a + r × ( n − 2 ) + ... + a + r + a

On additionne les deux expressions de Sn obtenues :

Sn = [ a ]                       + [ a + r ]                          + ... + [ a + r × ( n − 2 )] + [ a + r × ( n − 1 ) ]

Sn = [ a + r × ( n − 1 )]  + [ a + r × ( n − 2 )]           + ... + [ a + r ]               + [ a ]

ce qui donne :

2Sn = [ a + a + r × ( n − 1 ) ] + [ a + r + a + r × ( n − 2 ) ] + ... + [ a + r × ( n − 1) + a ]

On obtient :

2Sn = [ 2a + r × ( n − 1) ] + [ 2a + r × (n − 2 + 1) ] + ... + [ 2a + r × (n − 1) ]

2Sn = [ 2a + r × (n − 1) ] + [ 2a + r × (n − 1) ] + ... + [ 2a + r × (n − 1) ]

Comme il y a n termes consécutifs, on obtient :

2Sn = n × [ 2a + r × (n − 1) ]

2Sn = n × [ a + a + r × (n − 1) ]

Comme u1 = a et un = a + r × (n − 1), on obtient :

2Sn = n × [ u1 + un ]

Nous trouvons ainsi la règle suivante :

La somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique est égale à la demi-somme des premier et dernier termes, multipliée par le nombre de termes.

Cette règle est exprimée par la formule :

Sn = n × [ u1 + un ] / 2

ou encoreformule somme des termes d'une suite arithmetique.


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