cours de mathématiques : Somme de n termes consécutifs d'une suite géométrique.

Somme de n termes consécutifs d'une suite géométrique

Soit Sn la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de premier terme a et de raison q avec q ≠ 1 et q ≠ 0.

La somme Sn s' écrit donc :

Sn = a + aq + aq2 + aq3 + ... ... + aqn−1 .

Si on multiplie tous les termes par la raison q, nous obtenons

qSn = aq + aq2 + aq3 + aq4 + ... ... + aqn .

On obtient ensuite en faisant la différence entre qSn et Sn :

qSn − Sn = aq + aq2 + aq3 + aq4 + ... ... + aqn − (a + aq + aq2 + aq3 + ... ... + aqn−1)

qSn − Sn = aq + aq2 + aq3 + aq4 + ... ... + aqn−1 − ( aq + aq2 + aq3 + ... ... + aqn−1) − a + aqn

qSn − Sn = aqn − a

Sn ( q − 1 ) = a ( qn − 1 ) ,

On obtient donc :

Sn = a ( qn − 1 ) / ( q − 1 ) car q ≠ 1 .

Pour obtenir la somme des n premiers termes d'une suite géométrique, il faut multiplier le premier terme de cette suite par le quotient de la puissance niéme de la raison diminuée de 1 par la raison diminuée de 1.

La formule est donc :

Sn = a (1 − qn ) / (1 − q )

ou encore : la formule de la somme d'une suite geometrique.

On trouve de nombreuses applications des suites géométriques dans les mathématiques financières, notamment dans les intérêts composés, les remboursements par annuités, à la constitution d'un capital par les placements annuels.

Cependant avant de traiter ces questions, il ne sera point inutile de montrer avec quelle rapidité croissent les termes d'une suite géométrique.

Les résultats qui en proviennent étonnent les personnes qui ne sont pas familiarisées avec les mathématiques. Nous donnerons seulement des exemples.


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