Les suites de Cauchy
Définition d'une suite de Cauchy
On dit qu'une suite U = (un) de réels ou de complexes est une suite de Cauchy si elle vérifie la propriété suivante, appelée critère de Cauchy :
Pour tout ε > 0, Il existe un réél N tel que pour tout couple de rééls (p,q) , p ≥ N et q ≥ N on a : |up − uq| ≤ ε
ou encore ∀ ε > 0, ∃ N ∈
; ∀ (p,q) ∈² , p ≥ N et q ≥ N ⇒ |up — uq| ≤ ε .
Propriétés
1. Si une suite U = (un) de réels converge vers une limite finie λ, alors c'est une suite de Cauchy.
Démonstration :
Pour tout couple d'entiers n,k on a : |un+k − un| = |un+k − λ + λ − un| ≤ |un+k − λ| + |λ − un|
Soit un réél ε > 0, il existe un entier N à partir duquel pour tout n on a : |un − λ| ≤ ε/2 (déf de la convergence)
De là pour tout n ≥ N, on a aussi : |un+k − λ| ≤ ε/2 .
Conclusion : pour tout entier n ≥ N et pour tout entier k , on a :
|un+k − un| ≤ |un+k − λ| + |λ − un| ≤ ε/2 + ε/2 = ε .
2. Toute suite de Cauchy réélle, converge.
Exemple de suite de Cauchy
Soit la suite U = (un) définie par : u0 = a un réél et pour tout entier n, un+1 = (un + a/un)÷2
La suite U est une suite qui converge dans R vers √a, donc c'est une suite de Cauchy.