suite de Fibonacci et le nombre d'or.

La célèbre suite du mathématicien italien Fibonacci

calcul des termes de la suite - propriétés de la suite - démontration que (un+1 / un) tend vers le nombre d'or

La suite de Fibonacci tient son nom du mathématicien italien Leonardo Fibonacci, qui a vécu à Pise au XIIème siècle (1175-1240), d'où son nom de Léonard de Pise, en référence à Léonard de Vinci.

La suite de Fibonacci se construit facilement : chaque terme de la suite, à partir du rang 2, s'obtient en additionnant les deux précédents, les deux premiers termes étant 0 et 1. Le troisième terme est donc 1 (0 + 1 = 1), le quatrième terme 2 (1 + 1 = 2), le cinquième 3 (1 + 2 = 3), le sixième 5 (2 + 3 = 5), et ainsi de suite. Le début de la suite du célèbre mathématicien Fibonacci est donc : 0, 1, 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13, 21 ...

Appelons (un) la suite de Fibonacci. On a donc u0 = 0 ; u1 = 1 et pour tout n entier naturel,

on a alors un+2 = un+1 + un.

Chaque terme de cette suite, à partir du rang 2, est donc la somme des deux termes précédents.

La suite de Fibonacci n'est ni arithmétique, ni géométrique.

En effet, u1 − u0 = 1 − 0 = 1 et u2 − u1 = 1 − 1 = 0. La différence entre deux termes consécutifs de cette suite n'est pas constante donc la suite de Fibonacci n'est pas arithmétique.

Son premier terme étant 0, elle ne peut être géométrique. On remarque également par exemple que u4/u= 3/2 et que u5/u4 = 5/3. En définissant une suite en prenant les termes de la suite de Fibonacci à partir du terme de rang 2, on obtient donc une suite qui n'est pas géométrique : le rapport entre 2 termes consécutifs de cette suite n'est pas constant.

Calcul des termes de la suite Fibonacci

En calculant les termes de la suite, on constate que les termes de la suite de Fibonacci sont très rapidement élevés. En effet, voici les 52 premiers termes que l'on obtenir facilement avec un tableur comme excel :

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, 165580141, 267914296, 433494437, 701408733, 1134903170, 1836311903, 2971215073, 4807526976, 7778742049, 12586269025, 20365011074.

Le 52ème terme de la suite de Fibonacci, qui correspond à n = 51, est égal à 20 365 011 074 ce terme est composé de 11 chiffres, il se décompose en facteur comme suit : 2 × 1597 × 6376021.

Trouver les termes de cette suite reste un challenge, même pour nos ordinateurs les plus récents.

Voici ce que l'on peut obtenir assez rapidement les termes de la suite de Fibonacci avec un algorithme en C.

u100 = 354224848179261915075.

u476 = 1344719667586153181419716641724567886890850696275767987106294472017884974410 332069524504824747437757 comporte lui 100 chiffres.

u1000 = 4346655768693745643568852767504062580256466051737178040248172908953655541794 905189040387984007925516929592259308032263477520968962323987332247116164299644090653318 7938298969649928516003704476137795166849228875 quand à celui-ci je vous laisse le plaisir de les compter.

Le premier terme de la suite a être composé de 1000 chiffres est u4782

terme de fibonacci U(4782)

Soit U=(un) la suite de Fibonacci. On a donc u0 = 0 et u1 = 1 et pour tout n ≥ 1, un+1 = un + un−1.

La suite de Fibonacci possède les propriétés suivantes :

P1 : Pour tout n ≥ 1, un+1 = un + un−1 ou encore un = un+1 − un−1

P2 : La somme de 10 termes consécutifs de la suite de Fibonacci est égale au produit du septième terme par 11 :

un + un+1 + un+2 + ... ... + un+9 = 11 × un+6

En effet, si l'on pose : un = x et un+1 = y, on obtient ensuite un+2 = x + y, un+3 = x + 2y, un+4 = 2x + 3y, un+5 = 3x + 5y, un+6 = 5x + 8y, un+7 = 8x + 13y, un+8 = 13x + 21y, un+9 = 21x + 34y.

un + un+1 + un+2 + ... ... + un+9 = 55x + 88y = 11(5x + 8y) = 11 × un+6.

P3 : Le terme de rang (n+2) de la suite de Fibonacci est égal à la somme des (n+1) premiers termes de cette suite, à laquelle nous ajoutons 1.

un+2 = u0 + u1 + u2 + ... + un + 1.

Démonstration par récurrence de un+2 = u0 + u1 + u2 + ... + un + 1.

On pose : Sn = u0 + u1 + u2 + ... + un + 1 pour n ≥ 2.

Soit Pn la proposition Sn = un+2 pour n ≥ 2.

Initialisation

Pour n = 2

S2 = u0 + u1 + u2 + 1 = 0 + 1 + 1 + 1 = 3 et u2+2 = u4 = u2 + u3 = 1 + 2 = 3 donc Pn est vraie pour n = 2.

Hérédité

On suppose que pour un entier n, avec n ≥ 2, on a Pn est vraie, soit Sn = un+2 .

Sn+1 = u0 + u1 + u2 + ... + un + un+1 + 1

Sn+1 = u0 + u1 + u2 + ... + un + 1 + un+1

Sn+1 = Sn + un+1

Sn+1 = un+2 + un+1

Sn+1 = un+3

Sn+1 = u(n+1)+2

donc Pn+1 est encore vraie.

D’où, d’après le raisonnement par récurrence, pour tout n ≥ 2, u0 + u1 + u2 +... + un + 1= un+2.

P4 : La somme des (n+1) premiers termes de rang pair et du terme de rang 1 de la suite de Fibonacci est égale au terme de rang (2n+1) de la suite de Fibonacci :

u0 + u1 + u2 + u4 + u6 +... + u2n = u2n+1 .

Démonstration par récurrence de u0 + u1 + u2 + u4 + u6 +... + u2n = u2n+1 .

On pose : Sn = u0 + u1 + u2 + u4 + u6 +... + u2n pour n ≥ 1.

Soit Pn la proposition Sn = u2n+1 pour n ≥ 1.

Initialisation

Pour n = 1
S1 = u0 + u1 + u2 = 0 + 1 + 1 = 2 et u2 × 1 + 1 = u3 = u1 + u2 = 2 donc Pn est vraie pour n = 1.

Hérédité

On suppose que pour un entier n, avec n ≥ 1, on a Pn est vraie, soit Sn = u2n+1 .

Sn+1 = u0 + u1 + u2 + u4 + u6 +... + u2n + u2n+2

Sn+1 = u2n+1 + u2n+2

Sn+1 = u2n+3

Sn+1 = u2(n+1)+1

donc Pn+1 est encore vraie.

D’où, d’après le raisonnement par récurrence, pour tout n ≥ 1, u0 + u1 + u2 + u4 + u6 +... + u2n = u2n+1 .

P5 : La somme des carrés de 2 termes consécutifs de rang n et (n+1) de la suite de Fibonacci est égale au terme de rang (2n+1) :

(un)2 + (un+1)2 = u2n+1.

Montrons que (un+1 / un) tend vers le nombre d'or Φ (Φ = (1 + √5) / 2)

Soit E l'ensemble des suites (un) qui vérifient la relation suivante :

un+2 = un+1 + un.

Nous admettons que E est un ensemble stable, c'est-à-dire que pour toutes suites (an) et (bn) de l'ensemble E, la suite (sn), définie par sn = λan + µbn , λ et µ réels, est aussi une suite de l'ensemble E.

Cherchons les suites géométriques (an) de raison q définies, pour tout entier n, par an = a0qn, qui appartiennent à E, c'est-à-dire que pour tout entier n : an+2 = an+1 + an.

On a donc : an+2 = an+1 + an

D'où : a0qn+2 = a0qn+1 +a0qn

Et donc : a0qn (q2 − q − 1) = 0

On a alors : a0= 0 ou qn = 0 ou (q2 − q − 1) = 0

C'est-à-dire a0= 0 ou q = 0 ou (q2 − q − 1) = 0

Si a0 = 0 ou si q = 0, alors la suite (an) est nulle.

On suppose donc a0 ≠ 0 et q ≠ 0.

On a alors : q2 − q − 1 = 0

Les solutions de cette équation du second degré sont : (1 − √5)/2 et (1 + √5)/2.

On note : q1 = (1 − √5)/2 et q2 = (1 + √5)/2.

On peut remarquer que q2 est le nombre d'or Φ : nombre d'or ( 1 + racine de 5 ) / 2 .

On peut ainsi définir deux suites géométriques (an) et (bn) de E telles que :

an = a0 [ (1 − √5)/2]n et bn = b0 [ (1 +√5)/2]n avec a0 = b0 = 1.

On a : suite an et suite bn.

De là, la suite (un), définie par un= λan + µbn, pour tout entier n et pour tous réels λ et µ , appartient elle aussi à E et vérifie donc la relation : un+2 = un+1 + un.

Déterminons les valeurs de λ et µ telles que u0 = 0 et u1 = 1.

u0 = λa0 + µb0 = λ×1 + µ×1 = λ + µ.

On veut que u0 = 0 donc : λ + µ = 0 d'où λ = −µ.

u1 = λa1 + µb1 = −µa1 + µb1 = −µ a0 [ (1 − √5)/2]1 + b0 [ (1 +√5)/2]1 = −µ [ (1 − √5)/2] + µ [ (1 +√5)/2]

On veut que u1 = 1 donc : −µ [ (1 − √5)/2] + µ [ (1 +√5)/2] = 1

D'où µ [(1 +√5)/2 − (1 −√5)/2] = 1

Et donc µ√5 =1 .

D'où µ = 1/√5 , c'est-à-dire µ = √5/5 et donc λ = −√5/5.

Calculons le rapport un+1 / un

rapport des termes Fn+1 et Fn de la suite de fibonacci

rapport des termes Fn+1 et Fn de la suite de fibonacci

Or, le rapport q1 / q2 est est compris entre −1 et 1. En effet :

rapport des termes Fn+1 et Fn de la suite de fibonacci

De là, le terme rapport des termes Fn+1 et Fn de la suite de fibonaccitend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

On peut conclure que le rapport un+1 / un de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci tend vers q2, soit le nombre d'ornombre d'or ( 1 + racine de 5 ) / 2 .

On a donc : limite des rapport des termes Fn+1 et Fn de la suite de fibonacci.

Cette page a été copiée dans son intégralité par un autre site (bien sur sans référence et son demande de la part du webmaster de ce blog) pour limiter cette pratique je vois contraint d'ajouter des petits "les-suites.fr" sur les images.

extentions :

valeurs des 5000 premiers termes (attention gros fichier) - décomposition des 200 premiers termes de la suite de Fibonacci en facteurs premiers


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