Cours de mathématiques : La célèbre suite du mathématiciens Fibonacci ..
Prenons les 2 premiers entiers 1 et 2, leur somme respective est égale à 3. A partir de 1, 2 on obtient 1, 2, 3. Faisons la somme de 2 et 3 on obtient 5. On construit ainsi la suite du célèbre mathématicien Fibonacci.
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ...
Cette suite est définie comme suit : un terme de la suite est la somme des 2 précédents.
u0 = 0 et u1 = 1 et pour tout n entier naturel,
on a alors un+2 = un+1 + un
Cette suite n' est ni arithmétique ni géométrique.
En effet par exemple u4 - u3 = 1 alors que u5 - u4 = 5 - 3 = 2.
Et u4 / u3 = 3/2 alors que u5 / u4 = 5/3.
La suite de Fibonacci croît très rapidement, en effet voici les 52 premiers termes de la suite que l' on obtenir tout simplement avec excel :
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, 165580141, 267914296, 433494437, 701408733, 1134903170, 1836311903, 2971215073, 4807526976, 7778742049, 12586269025, 20365011074.
Le 52e terme de la suite de fibonacci est égale à 20 365 011 074 et est composé de 11 chiffres.
Trouver les termes de cette suite reste un challenge même pour nos ordinateurs les plus récent.
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Si l' on note un la suite de Fibonacci, elle est définie par : un+1 = un + un-1
La suite de Fibonacci possède les propriétés suivantes :
un+1 = un + un-1 ou encore un = un+1 - un-1
La somme de onze nombres successifs est égale à 11 fois le septième terme :
un + un+1 + un+2 + ... ... + un+10 = 11×un+7.
un+2 = u1 + u2 + ... + un + 1.
Montrons que (un+1 / un) tend vers le nombre d' or (1 + √5)/2
Soit E l' ensemble des suites un qui vérifient la relation suivante :
un+2 = un+1 + un.
Nous admettrons que E est un ensemble stable. C' est à dire que pour tout couple (an,bn) appartenant à l' ensemble E, la suite sn définie par sn= λan + µbn appartient aussi à l' ensemble E.
Cherchons les suites géométriques de raison q définie, pour tout entier n, par an = a0qn, qui appartiennent à E. C' est à dire si et seulement si pour tout entier n :
an+2 = an+1 + an
a0qn+2 = a0qn+1 +a0qn
a0qn(q2 - q - 1) = 0
si a0=0 ou q=0 alors la suite an est nulle, ce qui n' a aucun intérêt. On suppose donc a0 et q non nuls.
On a alors : q2 - q - 1 = 0
La suite an est de raison égale à l' une des 2 solutions de l' équation précédente.
C' est à dire q1 = (1 - √5)/2 ou q2 = (1 + √5)/2.
On peut remarquer que q2 est le nombre d' or : 
On peut ainsi définir deux suites géométriques qui appartiennent à E,
an = a0 [ (1 - √5)/2]n et bn = b0 [ (1 +√5)/2]n avec a0 = b0 = 1 on a :
et 
De là la suite un définie, pour tout entier n, par un= λan + µbn appartient elle aussi à E et vérifie la relation :
un+2 = un+1 + un.
Déterminons les valeurs de λ et µ de sorte que u0 = 0 et u1 = 1.
Pour n = 0 on a : λ + µ = 0 d' où λ = -µ.
Pour n = 0 on a : -µ [ (1 - √5)/2] + µ [ (1 +√5)/2]= 1 = µ [(1 +√5)/2 - (1 -√5)/2] = µ√5.
D' où µ = √5/5 et λ = -√5/5.
Calculons le rapport un+1 / un
Or, le rapport q1 / q2 est est compris entre -1 et 1, en effet :
De là, le terme 
tend vers 0 lorsque n tend vers l' infini, et on peut conclure que le rapport un+1 / un des nombres de Fibonacci successifs tend vers q2, soit le nombre d' or.
Ou encore : 