La suite de Syracuse ...
La suite de syracuse de Collatz ( Lothar Collatz )
On choisir un nombre entier :
- Si le nombre est pair, on le divise par 2 et on obtient le terme suivant de la suite.
- Si le nombre est impair, on le multiplie par 3, on ajoute 1 au résultat et on obtient le terme suivant de la suite.
On recommence la procédure avec le nouveau nombre obtenu.
On obtient une suite de nombres qui est appelée :
- le vol du nombre de départ,
- les nombres de la suite sont appelés les étapes du vol,
- le plus grand nombre obtenu dans la suite est appelé l'altitude maximale du vol
- le nombre d'étapes avant d'obtenir 1 est appelé la durée du vol.
Une fois atteint le nombre 1, la suite des valeurs (1,4,2,1,4,2…) se répète indéfiniment en un cycle de longueur 3, appelé cycle trivial.
Nous pouvons définir la suite sous la forme qui suit, pour tout entier n > 1 :
Conjecture de Syracuse :
Quel que soit le nombre de départ dans la suite obtenue avec l'syracuse de Collatz, on finit toujours par obtenir 1.
Mais pour le moment cela reste une conjecture et aucune preuve (démonstration) n'a été établie à ce jour .
Voici les 10 premières suites de syracuse :
2 - 1 ; la durée du vol pour 2 est de 1 et son altitude est de 2
3 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1 ; la durée du vol pour 3 est de 7 et son altitude est de 16
4 - 2 - 1 ; la durée du vol pour 4 est de 2 et son altitude est de 4
5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1 ; la durée du vol pour 5 est de 5 et son altitude est de 16
6 - 3 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1 ; la durée du vol pour 6 est de 8 et son altitude est de 16
7 - 22 - 11 - 34 - 17 - 52 - 26 - 13 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1 ; la durée du vol pour 7 est de 16 et son altitude est de 52
8 - 4 - 2 - 1 ; la durée du vol pour 8 est de 3 et son altitude est de 8
9 - 28 - 14 - 7 - 22 - 11 - 34 - 17 - 52 - 26 - 13 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1 ; la durée du vol pour 9 est de 19 et son altitude est de 52
10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1 ; la durée du vol pour 10 est de 6 et son altitude est de 16
pour 27 nous obtenons :
27 - 82 - 41 - 124 - 62 - 31 - 94 - 47 - 142 - 71 - 214 - 107 - 322 - 161 - 484 - 242 - 121 - 364 - 182 - 91 - 274 - 137 - 412 - 206 - 103 - 310 - 155 - 466 - 233 - 700 - 350 - 175 - 526 - 263 - 790 - 395 - 1186 - 593 - 1780 - 890 - 445 - 1336 - 668 - 334 - 167 - 502 - 251 - 754 - 377 - 1132 - 566 - 283 - 850 - 425 - 1276 - 638 - 319 - 958 - 479 - 1438 - 719 - 2158 - 1079 - 3238 - 1619 - 4858 - 2429 - 7288 - 3644 - 1822 - 911 - 2734 - 1367 - 4102 - 2051 - 6154 - 3077 - 9232 - 4616 - 2308 - 1154 - 577 - 1732 - 866 - 433 - 1300 - 650 - 325 - 976 - 488 - 244 - 122 - 61 - 184 - 92 - 46 - 23 - 70 - 35 - 106 - 53 - 160 - 80 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1 ; la durée du vol pour 27 est de 111 et son altitude est de 9232
pour 97 nous obtenons :
97 - 292 - 146 - 73 - 220 - 110 - 55 - 166 - 83 - 250 - 125 - 376 - 188 - 94 - 47 - 142 - 71 - 214 - 107 - 322 - 161 - 484 - 242 - 121 - 364 - 182 - 91 - 274 - 137 - 412 - 206 - 103 - 310 - 155 - 466 - 233 - 700 - 350 - 175 - 526 - 263 - 790 - 395 - 1186 - 593 - 1780 - 890 - 445 - 1336 - 668 - 334 - 167 - 502 - 251 - 754 - 377 - 1132 - 566 - 283 - 850 - 425 - 1276 - 638 - 319 - 958 - 479 - 1438 - 719 - 2158 - 1079 - 3238 - 1619 - 4858 - 2429 - 7288 - 3644 - 1822 - 911 - 2734 - 1367 - 4102 - 2051 - 6154 - 3077 - 9232 - 4616 - 2308 - 1154 - 577 - 1732 - 866 - 433 - 1300 - 650 - 325 - 976 - 488 - 244 - 122 - 61 - 184 - 92 - 46 - 23 - 70 - 35 - 106 - 53 - 160 - 80 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1 ; la durée du vol pour 97 est de 118 et son altitude est de 9232
alors que pour 99 :
99 - 298 - 149 - 448 - 224 - 112 - 56 - 28 - 14 - 7 - 22 - 11 - 34 - 17 - 52 - 26 - 13 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1 ; la durée du vol pour 99 est de 25 et son altitude est de 448