cours de première S sur les suites mathématiques : convergence d'une suite vers un réel

accueil / sommaire cours première S / convergence d'une suite vers un réel

VIII Convergence d'une suite vers un réel

1°) Définition

Soit la suite U=(un)n≥a et δ une constante réelle. La suite U converge vers δ ou la suite a pour imite δ quand n tend vers +∞ et nous pouvons écrire limn→+∞ un = δ si :

un peut être rendu aussi proche que voulu de δ dés que l'on prend l'entier n suffisament grand; c'est-à-dire si la suite de terme général (un − δ)n≥a converge vers 0.

Une suite réelle est ditconvergente si elle adment une limite réelle δ. On dit elle converge vers δ.

Si elle n'est pas convergente on dit que la suite est divergente.

2°) théorèmes

a) Si une suite admet une limite réelle (ou infinie), cette limite est unique.

b) Si ƒ est une fonction définie sur [a;+∞[ telle que limx→+∞ ƒ(x) = δ

exercice 1

U=(un)n≥0 est la suite définie par ∀ n ∈ ℕ, un = ( −5n − 8) ÷ (7n + 1) =

première méthode : montrons que vn = un − (−5/7) tends vers 0 lorsque tend vers +∞.

vn = = = = −51 ÷ 7 (7n + 1).

il faut majoré |vn| par une suite qui tend vers 0.

|vn| = 51 ÷ 7(7n + 1) = alors ∀ n ∈ ℕ, |vn| ≤ 51/49n ≤

de plus limn→+∞ 1/n = 0 donc limn→+∞ vn = 0 donc limn→+∞ un = 0.

deuxième méthode : utiliser la fonction numériques suivante ƒ(x) = (−5x − 8) / (7x + 1) = .

exercice 2

Soit U une suite définie par u0 = 5 et pour tout n > 0 par la relation suivante : un+1 = 0,99 × un + 1.

1) déterminer un réel α telque la suite V définie par vn = un − α soit une suite géométrique.

2) en déduire l'expression de un en fonction de n

3) en déduire que la suite converge vers un réel λ à préciser

4) étudier le sens de variation de la suite un

1) v est une suite géométrique s'il existe une constante q telque : ∀ n ∈ ℕ, vn+1 = q × vn

c'est-à-dire : ∀ n ∈ ℕ, un+1 − α = q × (un − α)

ou encore : ∀ n ∈ ℕ, 0,99u n − α = qun − qα (i)

pour que la dernière égalité (i) soit réalisée, il suffit que :

q = 0,99 et 1 − α = −qα c'est-à-dire q = 0,99 et α = 100

conclusion : α = 100la suite V = (vn)n≥0 définie par vn = un− 100 vérifie ∀ n ∈ ℕ, vn+1 = q × v avec q = 0,99 qui est une constante. V est don une suite géométrique de raison q = 0,99.

2) calculer un en fonction de n en utilisant 1) donc le lien entre un et vn, c'est-à-dire vn = un − 100

or V est une suite géométrique de raison q = 0,99 et de premier terme v0 = u0 − 100 = −95.

∀ n ∈ ℕ, vn = qn × v0 = −95 × 0,99n d'où ∀ n ∈ ℕ, un = 100 − 95 × 0,99n

3) comme limn→+∞ 0,99n = 0 car 0,99 est une constante inférieure à 1 et superieure à −1

donc nous obtenons limn→+∞ un = 100 et λ = 100.

4) La suite (0,99n)n≥0 est strictement décroissante car 0,99 ∈ ]−1;1[ donc la suite un = 100 − 95 × 0,99n est strictement croissante car −95 est une constante strictement négative.


webmaster - à propos - Copyright 2007-2016. Tous droits réservés.