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Les limites des suites

Soit a un entier naturel fixé, la suite U=(u_n)_n≥a est une suite à termes réels de premier terme u_a. U est une fonction de variable n entier naturel.

- dire "n tend vers −∞" est un non sens.

- dire "n tend vers √3" est un non sens.

- dire "n tend vers 5" est un non sens.

Nous ne parlons de limite de suite que pour n tendant vers +∞.

VI Suites tendant vers −∞ et +∞

1°) Définitions et exemples

Soit U=(u_n)_n≥0 une suite définie par la relation u_n = n² .

Pour tout n ≥ 1 on a u_n ≥ n, d'où pour u_n ≥ 10 000 il suffit que n soit ≥ 10 000

et pour u_n ≥ 10⁹⁹ , il suffit que n soit ≥ 10^99.

On dit que u_n tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞.

a) Si l'on arrive à rendre u_n aussi grand que l'on veut dés qu'on prend n suffisament grand, on dit que la suite U=(u_n) tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞ ou que la suite U a pour limite +∞.

On notera :

lim_n→+∞ u_n = +∞

b) Une suite U=(u_n) tend vers −∞ lorsque la suite −U tend vers +∞

on a :

lim_n→+∞ u_n = −∞ ⇔ lim_n→+∞ (−u_n) = +∞

c) exemples

Les suites (n), (n²), (n³), (n⁴), ..., la suite (√n) et la suite (qⁿ)avec q réel fixé >1 ont pour limite +∞

2°) théorèmes

a) Soit λ une constante réelle ≠ 0

si λ > 0 et lim_n→+∞ u_n = +∞ (respectivement −∞) alors lim_n→+∞ λu_n = +∞ (respectivement −∞).

si λ < 0 et lim_n→+∞ u_n = +∞ (respectivement −∞) alors lim_n→+∞ λu_n = −∞ (respectivement +∞).

b) S'il existe une fonction numérique ƒ définie sur [a; +∞[ telle que pour tout entier n ≥ a on a :

u_n = ƒ(n) et lim_x→+∞ ƒ(x) = +∞ (respectivement −∞) alors la suite (u_n)_n≥a a pour limite +∞ (respectivement −∞).

c) Si 2 suites numériques (u_n)_n≥a et (v_n)_n≥b sont telles que :

il existe un entier n₀ tel que pour n≥n₀ on a : u_n ≥ v_n et lim_n→+∞ v_n = +∞ (respectivement lim_n→+∞ u_n =  −∞)

alors

lim_n→+∞ u_n = +∞ (respectivement lim_n→+∞ v_n =  −∞).