accueil / sommaire cours première S / suites arithmétiques

II Suites arithmétiques

1°) Définition

exemple :

On considère les nombres successifs suivant :

−10, −7, −4, −1, 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 , 23 ...

Pour passer de chaque terme au suivant on ajoute la constante 3. On dit que ces nombres sont les termes successifs d'une suite arithmétique de raison égale à 3.

Définition : soit a une constante naturel fixe et (u_n)_n≥a une suite de terme réel, de premier terme u₀. On dit qu'elle est une suite arithmétique s'il existe une constante réelle r telle que pour tout entier ≥ 0 u_n+1 = u_n + r , soit u_n+1 − u_n = r .

r s'appelle la raison de la suite arithmétiques.

exemple 1 : la suite des entiers naturels (u_n) pour tout n élément de N avec u_n = n est une suite arithmétique de raison et de premier terme égale à 0.

exemple 2 : la suite des entier naturel impair (v_n) pour tout n élément de N* avec v _n = 2n − 1 est une suite arithmétique de raison 2.

remarque : une suite arithmétique est une suite récurrente définie par son premier terme et sa raison.

2°) Calcul des termes d'une suite arithmétique

Soient a un entier naturel fixé et (u_n)_n≥a une suite arithmétique de raison r on obtient :

u_a+1 = u_a + r

u_a+2 = u_a+1 + r

u_a+3 = u_a+2 + r

...

u_n−1 = u_n−2 + r

u_n = u_n−1 + r

Il y a [n − (a+1) + 1] = (n − a) égalités.

Effectuons la somme membre à membre de ces (n−a) égalités :

u_a+1 + u_a+2 + ... + u_n−1 + u_n = u_a + u_a+1 + ... + u_n−2 + u_n−1 + (n−a)r

d'où on obtient en simlifiant l'égalité suivante :

u_n = u_a + (n−a)r pour tout n ≥ a

théorème : soient a un entier naturel fixé et (u_n)_n≥a une suite arithmétique de premier terme u₀ de raison r,

  on a pour tout entier n ≥ a, u_n = u_a + (n−a)r

  et pour tout entier n ≥ a et entier p ≥ a, u_n = u_p + (n−p)r .

3°) Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique

Soit (u_n)_n≥1 une suite arithmétique de premier terme u₁ et de raison r .

Soit k un entier ≥ 2 calculons la somme S des k premiers termes .

S = u₁ + u₂ + ... + u_k−1 + u_k

nous savons que pour tout 2 ≤ p ≤ k : u_p+1 = u₁ + pr et u_k−p = u_k − pr alors u_p+1 + u_k−p = u₁ + u_k (relation i)

d'où

S = u₁ + u₂ + ... + u_k−1 + u_k

S = u_k + u_k−1 + ... + u₂ + u₁

effectuons la somme membre à membre

S + S = u₁ + u_k + (u₂ + u_k−1) + (u₃ + u_k−2) + ... + (u_k−2 + u₃) + (u_k−1 + u₂) + u_k + u₁

2S = u₁ + u_k + (u₁ + u_k)+ (u₁ + u_k) + ... + (u₁ + u_k) + (u_k + u₁) + u_k + u₁

2S = k(u₁ + u_k)

S = [k(u₁ + u_k)]÷2

théorème : la somme de k termes concécutifs d'une suite arithmétiques est le produit par k/2 de la somme du premier et du dernier terme de ces k termes.

exercice :

(u_n)_n≥0est une suite arthmétique de premier terme u₀ = 2 et de raison r = 3. Calculer la somme S des 50 termes consécutifs au terme u_50.

S = u₅₁ + u₅₂ + ... + u₁₀₀ = 50 ÷ 2 × (u₅₁ + u₁₀₀)

u₅₁ = u₀ + (51−0)r = 2 + 153 = 155

u₁₀₀ = u₀ + (100−0)r = 2 + 300 = 302

S = 50 ÷ 2 × (155 + 302) = 25 × 547 = 13675

exemple à connaître :

n entier naturel non nul, calculons la somme des n premiers entiers

pour tout n≥0, S = 1 + 2 + ... + n = n(n+1)÷2 .

Additif :

On écrit les termes consécutifs d'une suite arithmétique k entier ≥ 2

Le premier et le dernier sont des termes extremes deux de ces k termes sont équidistants des extermes s'il y a autant de terme avant l'un et après l'autre.

La somme de 2 termes équidistant des extremes est égale à la somme des termes extremes.

exemple 1 :

u₁, u₂, u₃, u₄, u₅, u₆ termes consécutifs d'une suite arithmétique.

On a alors u₁ + u₆ = u₂ + u₅ = u₃ + u₄ .

exemple 2 :

u₁, u₂, u₃, u₄, u₅, u₆, u₇ termes consécutifs d'une suite arithmétique.

On a alors u₁ + u₇ = u₂ + u₆ = u₃ + u₅ = u₄ + u₄ = 2u₄ .

exemple 3 :

3 nombres x, y, z sont dans cette ordre 3 termes consécutifs d'une suite arithmétique

si et seulement si x + z = 2y .