cours de première S sur les suites mathématiques : suites arithmétiques

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II Suites arithmétiques

1°) Définition

exemple :

On considère les nombres successifs suivant :

−10, −7, −4, −1, 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 , 23 ...

Pour passer de chaque terme au suivant on ajoute la constante 3. On dit que ces nombres sont les termes successifs d'une suite arithmétique de raison égale à 3.

Définition : soit a une constante naturel fixe et (un)n≥a une suite de terme réel, de premier terme u0. On dit qu'elle est une suite arithmétique s'il existe une constante réelle r telle que pour tout entier ≥ 0 un+1 = un + r , soit un+1 − un = r .

r s'appelle la raison de la suite arithmétiques.

exemple 1 : la suite des entiers naturels (un) pour tout n élément de N avec un = n est une suite arithmétique de raison et de premier terme égale à 0.

exemple 2 : la suite des entier naturel impair (vn) pour tout n élément de N* avec v n = 2n − 1 est une suite arithmétique de raison 2.

remarque : une suite arithmétique est une suite récurrente définie par son premier terme et sa raison.

2°) Calcul des termes d'une suite arithmétique

Soient a un entier naturel fixé et (un)n≥a une suite arithmétique de raison r on obtient :

ua+1 = ua + r

ua+2 = ua+1 + r

ua+3 = ua+2 + r

...

un−1 = un−2 + r

un = un−1 + r

Il y a [n − (a+1) + 1] = (n − a) égalités.

Effectuons la somme membre à membre de ces (n−a) égalités :

ua+1 + ua+2 + ... + un−1 + un = ua + ua+1 + ... + un−2 + un−1 + (n−a)r

d'où on obtient en simlifiant l'égalité suivante :

un = ua + (n−a)r pour tout n ≥ a

théorème : soient a un entier naturel fixé et (un)n≥a une suite arithmétique de premier terme u0 de raison r,

  on a pour tout entier n ≥ a, un = ua + (n−a)r

  et pour tout entier n ≥ a et entier p ≥ a, un = up + (n−p)r .

3°) Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique

Soit (un)n≥1 une suite arithmétique de premier terme u1 et de raison r .

Soit k un entier ≥ 2 calculons la somme S des k premiers termes .

S = u1 + u2 + ... + uk−1 + uk

nous savons que pour tout 2 ≤ p ≤ k : up+1 = u1 + pr et uk−p = uk − pr alors up+1 + uk−p = u1 + uk (relation i)

d'où

S = u1 + u2 + ... + uk−1 + uk

S = uk + uk−1 + ... + u2 + u1

effectuons la somme membre à membre

S + S = u1 + uk + (u2 + uk−1) + (u3 + uk−2) + ... + (uk−2 + u3) + (uk−1 + u2) + uk + u1

2S = u1 + uk + (u1 + uk)+ (u1 + uk) + ... + (u1 + uk) + (uk + u1) + uk + u1

2S = k(u1 + uk)

S = [k(u1 + uk)]÷2

théorème : la somme de k termes concécutifs d'une suite arithmétiques est le produit par k/2 de la somme du premier et du dernier terme de ces k termes.

exercice :

(un)n≥0est une suite arthmétique de premier terme u0 = 2 et de raison r = 3. Calculer la somme S des 50 termes consécutifs au terme u50.

S = u51 + u52 + ... + u100 = 50 ÷ 2 × (u51 + u100)

u51 = u0 + (51−0)r = 2 + 153 = 155

u100 = u0 + (100−0)r = 2 + 300 = 302

S = 50 ÷ 2 × (155 + 302) = 25 × 547 = 13675

exemple à connaître :

n entier naturel non nul, calculons la somme des n premiers entiers

pour tout n≥0, S = 1 + 2 + ... + n = n(n+1)÷2 .

Additif :

On écrit les termes consécutifs d'une suite arithmétique k entier ≥ 2

Le premier et le dernier sont des termes extremes deux de ces k termes sont équidistants des extermes s'il y a autant de terme avant l'un et après l'autre.

La somme de 2 termes équidistant des extremes est égale à la somme des termes extremes.

exemple 1 :

u1, u2, u3, u4, u5, u6 termes consécutifs d'une suite arithmétique.

On a alors u1 + u6 = u2 + u5 = u3 + u4 .

exemple 2 :

u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7 termes consécutifs d'une suite arithmétique.

On a alors u1 + u7 = u2 + u6 = u3 + u5 = u4 + u4 = 2u4 .

exemple 3 :

3 nombres x, y, z sont dans cette ordre 3 termes consécutifs d'une suite arithmétique

si et seulement si x + z = 2y .


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