cours de première S sur les suites mathématiques : suites géométritiques

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III Suites géométriques

1°) Définition des suites géométriques

soit a un entier naturel fixé, la suite (un)n≥a une suite géométrique s'il existe une constante réelle q telle que pour tout entier n≥a, un+1 = un × q , q est aussi la raison d'une suite géométrique .

Une suite géométrique est définie par son premier terme et sa raison.

exemple :

q réel fixé ≠ 0

La suite (qn)n∈N est est une suite géométrique de raison q car pour tout n∈N , qn+1 = qn × q .

2°) Calculer les termes d'une suite géométrique

Pour tout entier n≥a , un = ua × qn−a

Pour tout entier n≥p , un = up × qn−p

exercice :

Une somme de 10 000 euros est placée à un taux d'intérêt annuel de 4%. Chaque année, les intérêts sont calculés sur le capital initiale + intérêts acquis (intérêt composés).

De quelle somme dispose-t-on autant de 20 ans ?

C0 le capital initial C0 = 10 000 euros

C1 le capital initial au bout d'un an

C2 le capital initial au bout 2 ans

...

Cn le capital initial au bout n ans

On veut calculer C20

Exprimer Cn+1 en fonction Cn .

Cn+1 est égal à la somme disponible au bout de n+1 années .

Cn+1 est égal à la somme disponible au bout de n années plus les intérêts d'un an sur cette somme .

Cn+1 = 1,045 × Cn alors q = 104,5 ÷ 100

Pour tout n∈N , Cn+1 = Cn × q

La suite géométrique de première terme C0 = 10 000 de raison q = 104,5 ÷ 100 on a alors :

C20 = C20 × q20−0 = 10 000 × 1,04520 = 24 117,14 euros .

3°) Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique

u1, u2, u3, ... , uk k étant consécutif d'une suite géométrique de raison q

S = u1 + u2 + u3 + ... + uk−1 + uk

Sq = u1q + u2q + u3q + ... + uk−1q + ukq

      = u2 + u3 + ... + uk−1 + uk + ukq

Sq − S = ukq − u1 or uk = u1 × qk−1

Sq − S = u1qk−1 − u1

S(q − 1) = u1(qk − 1)

S = u1(qk − 1)÷(q − 1)

théorème : la somme de k termes consécutifs d'une suite géométrique de raison q ≠ 1, est le produit du premier des k termes par : (qk − 1)÷(q − 1) .

exemple :

Soit (un)n∈N suite géométrique du première terme u0 = 2 de raison q = 3 .

Calculons la somme S = u20 + u21 + ... + u60 .

S est la somme de (60 − 20 + 1) = 41 termes consécutifs d'une suite géométriques de raison q ≠ 1 de premier terme u20 et dernier u60 .

S = u20 × (qk − 1)÷(q − 1) et u20 = u0 × q20−0 = 2 × 320 .

S = 2 × 320 × (341 − 1) ÷ (3 − 1) = 320 × (341 − 1) .

exemple à connaitre :

x réel ≠ 1, n∈N*

1 + x + x2 + ... xn la somme de n+1 termes consécutifs d'une suite géométrique de raison x ≠ 1, le premier terme égal à 1.

Si x ≠ 1 , 1 + x + x2 + ... xn = (xn+1 − 1)÷(x − 1) .

Additif :

Lorsque l'on a k termes consécutifs d'une suite géométrique. Le produit de 2 termes équidistants des extremes est égal au produit des 2 termes extremes.

exemple :

3 nombres x, y, z sont dans cet ordre 3 termes consécutifs d'une suites géométrique si et seulement si : xz = y2


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