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III Suites géométriques

1°) Définition des suites géométriques

soit a un entier naturel fixé, la suite (u_n)_n≥a une suite géométrique s'il existe une constante réelle q telle que pour tout entier n≥a, u_n+1 = u_n × q , q est aussi la raison d'une suite géométrique .

Une suite géométrique est définie par son premier terme et sa raison.

exemple :

q réel fixé ≠ 0

La suite (qⁿ)_n∈N est est une suite géométrique de raison q car pour tout n∈N , qⁿ⁺¹ = qⁿ × q .

2°) Calculer les termes d'une suite géométrique

Pour tout entier n≥a , u_n = u_a × q^n−a

Pour tout entier n≥p , u_n = u_p × q^n−p

exercice :

Une somme de 10 000 euros est placée à un taux d'intérêt annuel de 4%. Chaque année, les intérêts sont calculés sur le capital initiale + intérêts acquis (intérêt composés).

De quelle somme dispose-t-on autant de 20 ans ?

C₀ le capital initial C₀ = 10 000 euros

C₁ le capital initial au bout d'un an

C₂ le capital initial au bout 2 ans

...

C_n le capital initial au bout n ans

On veut calculer C₂₀

Exprimer C_n+1 en fonction C_n .

C_n+1 est égal à la somme disponible au bout de n+1 années .

C_n+1 est égal à la somme disponible au bout de n années plus les intérêts d'un an sur cette somme .

C_n+1 = 1,045 × C_n alors q = 104,5 ÷ 100

Pour tout n∈N , C_n+1 = C_n × q

La suite géométrique de première terme C₀ = 10 000 de raison q = 104,5 ÷ 100 on a alors :

C₂₀ = C₂₀ × q²⁰⁻⁰ = 10 000 × 1,045²⁰ = 24 117,14 euros .

3°) Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique

u₁, u₂, u₃, ... , u_k k étant consécutif d'une suite géométrique de raison q

S = u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_k−1 + u_k

Sq = u₁q + u₂q + u₃q + ... + u_k−1q + u_kq

      = u₂ + u₃ + ... + u_k−1 + u_k + u_kq

Sq − S = u_kq − u₁ or u_k = u₁ × q^k−1

Sq − S = u₁q^k−1 − u₁

S(q − 1) = u₁(q^k − 1)

S = u₁(q^k − 1)÷(q − 1)

théorème : la somme de k termes consécutifs d'une suite géométrique de raison q ≠ 1, est le produit du premier des k termes par : (q^k − 1)÷(q − 1) .

exemple :

Soit (u_n)_n∈N suite géométrique du première terme u₀ = 2 de raison q = 3 .

Calculons la somme S = u₂₀ + u₂₁ + ... + u₆₀ .

S est la somme de (60 − 20 + 1) = 41 termes consécutifs d'une suite géométriques de raison q ≠ 1 de premier terme u₂₀ et dernier u₆₀ .

S = u₂₀ × (q^k − 1)÷(q − 1) et u₂₀ = u₀ × q²⁰⁻⁰ = 2 × 3²⁰ .

S = 2 × 3²⁰ × (3⁴¹ − 1) ÷ (3 − 1) = 3²⁰ × (3⁴¹ − 1) .

exemple à connaitre :

x réel ≠ 1, n∈N*

1 + x + x² + ... xⁿ la somme de n+1 termes consécutifs d'une suite géométrique de raison x ≠ 1, le premier terme égal à 1.

Si x ≠ 1 , 1 + x + x² + ... xⁿ = (xⁿ⁺¹ − 1)÷(x − 1) .

Additif :

Lorsque l'on a k termes consécutifs d'une suite géométrique. Le produit de 2 termes équidistants des extremes est égal au produit des 2 termes extremes.

exemple :

3 nombres x, y, z sont dans cet ordre 3 termes consécutifs d'une suites géométrique si et seulement si : xz = y²