cours de première S sur les suites mathématiques : suites majorées et suites minorées

accueil / sommaire cours première S / suites majorées minorées

IV Suites majorées et minorées

1°) Définition des suites majorées et minorées

Soit a un entier naturel fixé, la suite (un)n≥a est une suite à termes réels

a) suite majorée et minorée

La suite est majorée ( respectivement minorée ) si il existe une constante M ( respectivement une constante m) telle que pour tout entier n ≥ a , on a unM ( respectivement unm ) .

b) suite bornée

La suite (un)n≥a est bornée si la suite est majorée et minorée, c'est-à-dire s'il existe une constante μ ≥ 0 telle que pour tout entier n ≥ a, on a |un| ≤ μ .

exemple :

La suite (un)n>0 défini par pour tout n entier relatif , un = 1/n . Cette suite est-elle majorée ? ou minorée ?

La suite est minorée par 0 car pour tout n entier relatif ≠ 0 on a un > 0 .

La suite est majorée par 1 car pour tout n entier relatif ≠ 0 on a un ≤ 1 .

exemple :

La suite (vn)n≥0 définie par : pour tout n ≥ 0, vn = (n² − 1)÷(n² + 1). Cette suite est-elle majorée ? ou minorée ?

Soit la fonction ƒ qui a tout x associe ƒ(x) = (x² − 1)÷(x² + 1) définie sur ℜ telle que pour tout n entier relatif vn = ƒ(n) .

Il faut étudier la fonction ƒ sur [0; +∞[ . ƒ est une fonction continue et dérivable sur [0; +∞[ .

On a pour tout x de [0; +∞[ on a ƒ'(x)= 4x÷(x² + 1)² , la dérivé ƒ' est du signe de 4x sur l'ensemble [0; +∞[ , donc nulle en 0 et strictement positif sur ]0, +∞[ .

La fonction f est donc strictement croissante sur [0; +∞[ et croit de −1 à 1, on a donc pour tout x élément de [0; +∞[ , −1 ≤ ƒ(x) ≤ 1

d'où l'on peut déduire pour tout n entier naturel , −1 ≤ ƒ(n) ≤ 1

et de là pour tout n entier naturel , −1 ≤ vn ≤ 1 .

Généralisation

Soit (un)n≥a une suite numérique telque il existe une fonction numérique ƒ définie sur [a; +∞[ telque pour tout entier naturel n ≥ a on ait un = ƒ(n) .

Pour savoir si la suite est majorée ou minorée il pourra être utile de dresser le tableau de variation de ƒ sur [a; +∞[ .

exemple :

La suite (un)n≥0 définie par :

un = 1 et pour tout n entier naturel un+1 = un÷ 3 + 2 .

Montrer que la suite est minorée par 1 et majorée par 3, c'est-à-dire pour tout entier naturel n nous ayons : 1 ≤ un ≤ 3 .

Raisonnement par récurrence

Soit P(n) l'énoncé "pour tout n entier ≥ 0, on a 1 ≤ un ≤ 3" dont on veut démontrer qu'il est vrai pour tout entier ≥ 0.

* P(0) est vrai, car nous avons 1 ≤ u0 = 1 ≤ 3

** Soit n entier ≥ 0 tel que P(n) soit vrai, c'est-à-dire par hypothèse on ai 1 ≤ un ≤ 3 pour tout n ≥ 0

P(n+1) est-il vrai ? c'est-à-dire a-t-on 1 ≤ un+1 ≤ 3 ?

par définition on sait que : un+1 = un÷ 3 + 2

d'où

1 ≤ un ≤ 3

1/3 ≤ un ÷ 3 ≤ 1

7/3  ≤ un ÷ 3 + 2 ≤ 3

d'où l'on déduit :

1 ≤ 7/3  ≤ un+1 ≤ 3 donc P(n+1) est vrai .

Conclusion P(n) est vrai pour tout entier ≥ 0 et donc la suite (un)n≥0 est bien minorée par 1 et majorée par 3.

 


webmaster - à propos - Copyright 2007-2016. Tous droits réservés.