cours de première S sur les suites mathématiques : suites monotones

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IV Suites monotones

1°) Définition

Soit a un entier naturel fixé, la suite (un)n≥a est une suite à termes réels de premier terme ua.

a) suite constante

La suite est constante ( ou stationnaire) s'il existe une constante réelle k telle que pour tout n ≥ a, un = k ( c'est-à-dire pour tout n ≥ a, un = un+1 ) .

b) suite croissante

La suite est croissante si pour tout entier n ≥ a, un ≤ un+1 ,

c'est-à-dire un+1 − un ≥ 0 .

c) suite décroissante

La suite est décroissante si pour tout entier n ≥ a, un ≥ un+1 ,

c'est-à-dire un+1 − un ≤ 0 .

d) suite strictement croissante

La suite est strictement croissante si pour tout entier n ≥ a, un < un+1 ,

c'est-à-dire un+1 − un > 0 .

e) suite strictement décroissante

La suite est strictement décroissante si pour tout entier n ≥ a, un > un+1 ,

c'est-à-dire un+1 − un < 0 .

remarques :

- Si la suite est croissante nous avons ua ≤ ua+1 ≤ ua+2 ≤ ... ≤ un et elle est, de fait, minorée par son premier terme ua .

- Si la suite est décroissante nous avons ua ≥ ua+1 ≥ ua+2 ≥ ... ≥ un et elle est, de fait, majorée par son premier terme ua .

- Si une suite est croissante ou si elle est décroissante, elle est dite monotone.

- Si une suite est strictement croissante ou si elle est strictement décroissante, elle est dite strictement monotone.

- Etudier le sens de variation d'une suite, c'est étudier sa monotonie éventuelle.

remarques importantes :

i) Une suite peut être ni croissante, ni décroissante; exemple la suite U = (un)n≥0 avec un=(−1)n , les termes successifs sont égales à 1, −1, 1, −1, ... Cette suites n'est pas monotone.

ii) Soit la suite U=(un)n≥a une suite numérique de premier terme ua . Si il existe un entier k > a tel que la suite (un)n≥k soit croissante (respectivement décroissante), on dit que la suite U est croissante (respectivement décroissante) à partir du rang n = k.

Méthode de travail

Etudier le sens de variation de la suite U=(un)n≥a.

Première méthode : étudier directement le signe de un+1 − un.

exemple : soit la suite U = (un)n≥0 , telle que pour tout n entier naturel un = n² + n + 2

pour tout entier n ≥ 0 , un+1 − un = (n+1)² + (n+1) + 2 − (n² + n + 2) = n² + 3n + 4 − n² − n − 2

un+1 − un = 2n + 2 = 2(n + 1) > 0

La suite U est strictement croissante.

exemple : V = (Vn)n≥2 définie par Vn = (n+1)/(n−1)

Pour tout entier n ≥ 2,

Vn+1 − Vn = (n+2)/n − (n+1)/(n−1) = [(n+2)(n−1) − n(n+1)] / [n(n−1)]

Vn+1 − Vn = −2 / [n(n−1)] < 0

La suite V est strictement décroissante.

Deuxième méthode : on suppose qu'il existe une fonctionne numérique ƒ définie sur [a; +∞[ telle que pour tout entier n ≥ a , un = ƒ(n) .

Si la fonction ƒ est croissante (respectivement décroissante) sur [a; +∞[, alors la suite U = (un)n≥a est croissante (respectivement décroissante).

exemple : Soit la suite U = (un)n≥0 , telle que pour tout n entier naturel un = n² + n + 2 .

Soit la fonction ƒ : x → ƒ(x) = x² + x + 2 définie [0; +∞[ sur telle que pour tout n entier naturel un = ƒ(n).

Etudions le sens de variation de ƒ sur [0; +∞[ .

La fonction ƒ est continue dérivable sur [0; +∞[ , pour tout x ∈ [0; +∞[, on a ƒ'(x) = 2x + 1 > 0 donc ƒ est strictement croissante sur [0; +∞[.

Donc la suite U est strictement croissante.

exemple : V = (Vn)n≥2 définie par Vn = (n+1)/(n−1)

Soit la fonction ƒ : x → ƒ(x) = (x+1)/(x−) telle que pour tout entier n ≥ 2 , vn = ƒ(n) .

Etudions le sens de variation de ƒ sur [2; +∞[ .

La fonction ƒ est continue dérivable sur [2; +∞[ , pour tout x ∈ [0; +∞[, on a ƒ'(x) =−2/(x+1)² < 0 .

Donc ƒ est strictement décroissante sur [2; +∞[ donc la suite V est strictement décroissante.

Troisième Méthode : on suppose que la suite est a termes strictement positifs.

Pour tout entier n ≥ a , un > 0 ,

alors un ≤ un+1 ⇔ un+1 / un ≥ 1

alors un ≥ un+1 ⇔ un+1 / un ≤ 1

Donc la suite est croissante (respectivement strictement croissante) ssi pour tout entier n ≥ a, on a un+1/u≥ 1 (respectivement >1).

Donc la suite est décroissante (respectivement strictement décroissante) ssi pour tout entier n ≥ a, on a un+1/u≤ 1 (respectivement >1).

Exemple à connaitre :

Soit q un réel non nul

On concidèrent la suite U = (un)n≥0 définie pour tout n ≥ 0 par la relation : un = qn .

Premier cas : q < 0

alors u0 > 0, u1 < 0, u2 > 0, ... La suite n'est pas monotone.

Deuxième cas : q > 0

alors pour tout n ∈ N, un > 0 et un+1 / un = qn+1 / qn = q

Si q > 1 , on a pour tout n ≥ 0, un+1 / un > 1 alors la suite est strictement croissante.

Si 0 < q < 1 , on a pour tout n ≥ 0, 0 < un+1 / un < 1 alors la suite est strictement décroissante.

Si q = 1 , on a pour tout n ≥ 0 un+1 / un = 1 alors la suite est constante.

Exemple important :

Soit q un réel fixé non nul, et la suite définie par un = (qn)n≥0 nous avons alors :

Si q > 1 alors la suite est strictement croissante.

Si 0 < q < 1 alors la suite est strictement décroissante.

Si q = 1 alors la suite est constante.

Si q < 0 la suite n'est pas monotone.

Exercice 1 :

Etudier la monotonie de la suite U = (un)n≥0 définie par un = 20n / n.

Pour tout n > 0 , on a un > 0.

Comparons un+1 / un à 1

Pour tout n > 0 , un+1 / un = (20n+1 / n+1) × (n / 20n) = 20n / n+1

Pour tout n entier ≥ 1, un+1 / un ≤ 1 ⇔ 20n ≤ n+1 ⇔ 19n ≤ 1 ⇔ n ≤ 1/19

Or c'est impossible car n ≥ 1, donc on a pour tout n > 0, un+1 / un > 1 , donc la suite est strictement croissante.

Exercice 2 :

Soit la suite U = (un)n≥0 définie par un = n! / 10,5n.

Nous rappelons que pour tout n >0 , n! = n × n−1 × n−2 × ... × 2 × 1 et 0! = 1.

Etudier la monotonie de cete suite

Pour tout n > 0 nous avons un > 0.

Poiur tout n > 0 , un+1 / un = [(n+1)! / 10,5n+1 ] / [10,5n / n!] = n+1 / 10,5

Pour tout n entier > 0, un+1 / un ≤ 1 ⇔ n+1 ≤ 10,5 ⇔ n ≤ 9,5 ⇔ n ≤ 9

Pour tout n entier > 0, un+1 / un ≥ 1 ⇔ n+1 ≥ 10,5 ⇔ n ≥ 9,5 ⇔ n ≥ 10

Pour tout entier n ≥ 10 la suite (un)n≥10 est croissante, c'est que la suite U=(un)n≥0 est croissante à partir du rang n=10.

Quatrième méthode (pour les suites récurrentes)

Si nous établissons que pour tout entier n ≥ a, un+1 − un et un+2 − un+1 sont de même de signe, alors pour tout n ≥ a, un+1 − un est du signe de ua+1 − ua .

Exemple : étudier la monotonie de la suite U = (un)n≥0 définie par un+1 = 2un − 3 et u0 = 0 .

Il faut comparer les signes de un+1 − un et un+2 − un+1

pour tout n ≥ 0 ,

un+2 = 2un+1 − 3 et un+1 = 2un − 3

un+2 − un+1 = 2(un+1 − un) et 2 > 0

Donc pour tout n ≥ 0, un+2 − un+1 et un+1 − un sont de même signe, donc un+1 − un possède le même signe que u1 − u0 = −3.

Donc pour tout n ≥ 0, un+1 − un ≤ 0 donc la suite est décroissante.


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