cours de terminale S sur les suites mathématiques : détermination d'une suite

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III Détermination d'une suite à terme réels (respectivement complexes)

1) Suite définie par une formule explicite

Soit a entier naturel donné et ƒ une fonction de variable réelle à valeur dans ℜ ( respectivement dans ) telque le domaine de définition contienne tous les entiers ≥ a, nous pourrons définir une suite (un)n≥a par la relation suivante : pour tout entier n ≥ a, un = ƒ(n).

exemple 1 :

suite à termes réels (un)n≥0 avec un = sin(n²)÷(n+3).

Soit ƒ la fonction numériques de variable réelle x définie sur ℜ\{3} par ƒ(x) = sin(x²)÷(x+3).

ƒ est bien définie pour tout x ∈et nous avons, ∀ x ∈ un = ƒ(n).

2) Suite définie par une relation de récurrence

Une suite (un)n≥a à termes réels (respectivement complexe) est déterminer de manière unique lorsque l'on se donne son premier terme un = λ , λ étant un réel (respectivement complexe) donné et la relation de récurrence pour tout entier ≥ a, un+1 = φ(n). φ étant une fonction de ℜ dans ℜ (respectivement dedans).

exemple :

Soit U la suite numérique (un)n≥0 définie par : u0 = 1 et ∀ n ∈ un+1 = un÷3 + 2 .

Soit la fonction φ : ℜ → ℜ, x →φ(x) = et ∀ n ∈ un+1 = φ(n).

u0 = 1

u1 = φ(u0) = φ(1) = 1/3 + 2 = 7/3

u2 = φ(u1) = φ(7/3) = 7/9 + 2 = 25/9

u3 = φ(u2) = φ(25/9) = 25/27 + 2 = 79/27

u4 = φ(u3) = φ(79/27) = 79/81 + 2 = 241/81

Ici la droite d'équation y = x/3 + 2 et la droite d'équation y = x se coupent en A(3;3).

Nous lisons les valeurs de u0, u1, u2 sur l'axe des abscisses en procédant comme suit.

Marquer en abscisse le premier terme ici u0 = 1 et u1 = φ(u0) est l'ordonnée du point M0 d'abscisse u0. Nous reportons cette ordonnée grace à la droite y = x. Soit N1 le point d'ordonnée u1 de la droite y = x, donc d'abscisse u1 également.

u2 = φ(u1) est l'ordonnée du point M1 d'abscisse u1 et N2 est le point d'ordonnée u2 de la droite y = x, donc d'abscisse u2 également.

La lecture du graphique permet de conjecturer que : u0 < u1 < u2 < u3 < 3, nous pouvons penser que la suite est strictement croissante et majorée par 3 et nous pouvons penser aussi que la limn→+∞un = 3 .


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