cours de terminale S sur les suites mathématiques : égalité de suites

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IV Egalité de suites

Soient (un)n≥a et (vn)n≥a,, 2 suites à termes réels ou complexes de même ensemble d'indices, elles sont égales si pour tout entier > a nous avons un = vn.

1) Cas d'une suite récurrente

Soit U = (un)n≥a une suite récurrente définie de façon unique par la donnée de son premier terme u0 et pour tout entier n ≥ a par la relation suivante un+1 = φ(un) , φ étant une fonction numérique donnée.

Soit V = (vn)n≥a une seconde suite , pour montrer que un = vn,

il suffit de montrer que : ua = va et pour tout entier n ≥ a vn+1 = φ(vn) .

2) Exercice

Soit U = (un)n≥a une suite à termes réels définie par : u0 = 1 et ∀ n ∈ un+1 = un ÷ (1 + un)

Montrer que pour tout n entier naturel nous avons un = 1 ÷ (1 + n) .

Soit la fonction ƒ : ℜ → ℜ, x → ƒ(x) = , la suite U est définie par : u0 = 1 et ∀ n ∈ un+1 = ƒ(un).

On pose vn = 1 ÷ (1 + n) pour tout n ∈ on veut montrer que un = vn.

On a v0 = 1 ÷ (1 + 0) = 1 = u0 (i)

∀ n ∈, vn+1 = 1 ÷ (1 + n+1) = 1 ÷ (2 + n)

∀ n ∈, ƒ(vn) = vn÷ (1 + vn) = = = = 1 ÷ (2 + n) = vn+1

On a ∀ n ∈, vn+1 = ƒ(vn) (ii)

De (i) et de (ii) nous pouvons conclure que la suite U est égale à la suite V

et donc que ∀ n ∈, un = 1 ÷ (1 + n) CQFD.


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