cours de terminale S sur les suites mathématiques : suites réelles monotones

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VI Suites réelles monotones

Soit (un)n≥a une suite à termes réels.

La suite U est croissante si quelques soient n,p entiers telque a ≤ n ≤ p , on a : un ≤ up , c'est-à dire pour tout n ≥ a, un ≤ un+1 .

La suite U est strictement croissante si quelques soient n,p entiers telque a ≤ n ≤ p , on a : un < up , c'est-à dire pour tout n ≥ a, un < un+1 .

La suite U est décroissante si quelques soient n,p entiers telque a ≤ n ≤ p , on a : un ≥ up , c'est-à dire pour tout n ≥ a, un ≥ un+1 .

La suite U est strictement décroissante si quelques soient n,p entiers telque a ≤ n ≤ p , on a : un > up , c'est-à dire pour tout n ≥ a, un > un+1 .

La suite U est constante ou stationnaire si pout tout entier n ≥ a, un = constante, c'est à dire que un = un+1 .

1) Méthodes d'étude de la monotonie d'une suite

Etude directe du signe de un+1 − un .

Exemples :

a)

Soit (un)n≥0 une suite à termes réels définie par un = −2n² − 4n + 5

∀ n ∈ ℕ, un+1 − un = [−2(n+1)² − 4(n+1) + 5] − [−2n² − 4n + 5] = −4n − 6

∀ n ∈ ℕ, un+1 − un < 0 donc la suite U est strictement décroissante.

b)

U = (un)n≥2 définie par u2 = 2 et ∀ n ≥ 2 , un+1 = un + 2n/(n−1)

Pour tout n ≥ 2, un+1 − un = 2n/(n−1) > 0 donc la suite U est strictement croissante.

2) Cas d'une suite définie de manière explicite

Soit (un)n≥a une suite à termes réels définie par un = ƒ(n) où ƒ est une fonction définie sur [a;+∞[ . Si ƒ est monotone sur [a;+∞[, la suite est alors monotone et son sens de variationo est celui de ƒ.

Exemple :

La suite (un)n≥1 est définie par un = n − ln(n), pour tout entier ≥ 1, un = ƒ(n) où ƒ est la fonction définie sur ]0;+∞[ par ƒ(x) = x − ln(x). On etudie le sens de variation de ƒ sur [1;+∞[.

ƒ est dérivable sur [1;+∞[ et ∀ x ≥ 1 ƒ'(x) = 1 − 1/x > 0, donc ƒ est strictement croissante sur sur [1;+∞[ donc la suite (un)n≥1 est strictement creoiisante.

3) Cas d'une suite à termes strictement positifs

Soit une suite U = (un)n≥a une suite à termes réels,tel que pour tout entier n ≥ a, un > 0, alors :

- la suite (un)n≥a est croissante si pour tout entier n ≥ a, un+1 / un = ≥ 1

- la suite (un)n≥a est décroissante si pour tout entier n ≥ a, un+1 / un = ≤ 1

exemple 1 :

Soit U = (un)n≥1 avec un = 10n/n! =

∀ n ≥ 1, un > 0

∀ n ≥ 1, un+1 / un = 10n+1/(n+1)! / 10n/n! = 10n+1/(n+1)! × n!/10n = 10/(n+1)

Or 10/(n+1) > 1 ⇔ 10 > n+1 ⇔ 9 > n ⇔ n ≤ 8

Et 10/(n+1) < 1 ⇔ 10 < n+1 ⇔ 9 < n ⇔ n ≥ 10

D'où pour tout n ≥ 10, < 1 et la suite (un)n≥10 est strictement décroissante.

exemple 2 :

Soit la suite (un)n≥0 une suite à termes réels vérifiant ∀ n ≥ 0 , un+1 = 1/5 un + 10

a) Commnent faut-il choisir u0 pour que la suite soit constante ?

Nous avons une suite, ∀ n ∈ ℕ, un+1 = ƒ(n), ƒ étant la fonction définie pour tout x ∈ ℜ, par la relation ƒ(x) = 1/5 x + 10.

Nous voulons que la suite soit constante, c'est à dire que ∀ n ∈ ℕ, un = u0.

étude directe

Sil a suite est constante alors u1 = u0 et alors ƒ(u0) = u0 donc u0 est une solution de l'équation ƒ(x) = x.

étude réciproque

Nous supposons que k = u0 , k est solution de l'equation ƒ(x) = x.

La suite est-elle constante ? A-t-on ∀ n ∈ ℕ, un = k ?

Récurrence

On a u0 = k par hypothèse

Si p est un entier ≥ 0 tel que up = k alors up+1 = ƒ(up) = ƒ(k) = k. car k est solution de ƒ(x) = x.

On a bien ∀ n ∈ ℕ, un = k la suite est constante.

Conclusion : la suite est constante si et seulement si u0 est solution de ƒ(x) = x c'est-à-dire ici u0 = 12,5.

b) Supposons que u0 = 15 dons ƒ(u0) ≠ u0 et de là u1 ≠ u0

un = 1/5 × 15 + 10 = 3 + 10 = 13 < u0 .

Montrons que la suite est strictement monotone

Soit la suite (vn)n≥0 définie par la relation ∀ n ∈ ℕ, vn = un+1 − un

Etudions le signe de la suite (vn)n≥0 quelque soit n.

On a v0 = u1 − u0 < 0, montrons que ∀ n ∈ ℕ, vn < 0.

Méthode générale : comparons les signes de vn et vn+1

Pour tout n ∈ ℕ, on a vn+1 = un+2 − un+1 = (1/5 un+1 + 10) − ( 1/5 un + 10) = 1/5(un+1 − un)

On a ∀ n ∈ ℕ, vn+1 = vn avec 1/5 > 0

Donc ∀ n ∈ ℕ, tel que vn ≠ 0, vn+1 est non nul de même signe que vn.

On a v0 = u1 − u0 < 0, d'où v2 < 0, d'où v3 < 0 etc...

Par récurrence nous obtenons ∀ n ∈ ℕ, vn < 0, donc la suite est strictement croissante.


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