Les équations du second degré.

L'étude des équations du second degré.

En complément à votre cours de mathématiques, vous trouverez sur ces pages la description et l'étude des équations mathématiques du second degré :

I la description des différentes formes des équations du second degrés, le calcul des radicaux

II les équations du second degré à deux termes

III Exemple de calculs sur les radicaux du deuxième degré

II la résolution des équations de la forme x² + px + q = 0, la nature de leurs racines

III la discussion de l'existence de solutions

IV la résolution par le calcul du discriminant des équations de la forme ax² + bx + c = 0 avec a,b,c réels et a non nul

I Les formes des équations du second degré

Les équations du deuxième degré à une inconnue est celle où l'inconnue est élevée à la puissance de 2, sans y être plus élevée; l'exposant le plus élevé de l'inconnue est donc 2.

Après la suppression des dénominateurs, et toutes réductions faites, cette équation se réduit à trois termes, un terme en x2, un terme en x et un terme connu. les équations peuvent s'écrire sous les formes suivantes :

3x2 − 5x = 4 ou en plaçant selon l'usage tous les termes dans le premier membre 3x2 − 5x − 4 = 0.

Une équation du deuxième degré peut aussi ne contenir que 2 termes. Comme par exemple les équations suivantes :

3x2 − 12 = 0 ou 3x2 − 5x = 0.

II Résolution des équations du second degré à deux termes.

Prenons l'équation composée d'un terme en x2 et d'un terme connu, par exemple : 3x2 − 12 = 0,

ou ce qui est la même chose 3x2 = 12.

en divisant d'abord les deux membres par le coefficient de x2, on a

x2 = 4.

Puisque le carré de l'inconnue est égal à 4, l'inconnue est elle-même égale à la racine de 4 et par conséquent égale à 2. Mais au point de vue algébrique, le nombre négatif −2 multiplié par lui-même donne +4 pour produit, comme +2, donc −2 est aussi bien la racine carré de 4 que +2; c'est ce qu'on écrit ainsi

x = ±√4 = ±2. On l'énonce en disant : x égal plus ou moins 2.

Résolvons l'équation : x2 − 4 = 0

On peut aussi résoudre l' équation en utilisant l' identité remarquable suivante, a2−b2=(a+b)(a−b)

(x − 2)(x +2) = 0

x − 2 = 0    ou    x + 2 = 0

x = 2          ou    x = −2 .

Résolvons un équation composée d'un terme en x2 et d'un terme en x par exemple : 3x2 − 5x = 0

En mettant x en facteur commun dans les deux termes, on obtient :

(3x − 5) × x = 0

Les racines des équations sont les valeurs qui, substituées à x, rendront le premier membre égal à 0 ou le second membre égal à 0.

Il suffit que :

(3x − 5) = 0 ou x = 0

3x − 5 = 0    ou x = 0

x = 5/3         ou x = 0

donc 5/3 et 0 sont les racines de l'équation.

En résumé, quand l'équation du deuxième degré ne contient que deux termes, l'un en x2 et l'autre en x, l'une de ses deux racines sera toujours nécéssairement 0. Pour avoir la seconde racine, on résoud une équation du premier degré, et c'est en résolvant cette équation qu'on obtient la deuxième racine.


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