Les nombres de Mersenne et les nombres de Fermat

La suite des nombres de Mersenne

Mersenne est un mathématicien du 17ème siècle.

Nous pouvons décrire les nombres de Mersenne sous la forme des termes d'une suite M définie comme suit : pour tout p > 0, Mp = 2p − 1.

Plus généralement, nous parlons des nombres de Mersenne pour les rangs où p est un nombre premier. En effet, pour p premier, les nombres de Mersenne sont susceptibles d'être premiers.

Mersenne, à son époque, avait donné une liste des termes de cette suite qui sont premiers, mais cette liste s'est avérée fausse.

Par jeu, j'ai commencé à coder un petit programme en C afin de décomposer les nombres de Mersenne non premiers en produit de facteurs premiers.

La suite des nombres de Fermat

A la même époque, Fermat, autre mathématicien du 17ème siècle, conjecture que les termes de la suite F définie comme suit : pour tout n ≥ 0, Fn = 22^n + 1 = fermat, sont des nombres premiers.

C'est vrai pour les 5 premiers, mais bien qu'il ne soit pas aisé de les factoriser, aujourd'hui (2012) aucun terme premier à partir du rang 5 n'a été trouvé.

F0 = 3 est premier

F1 = 5 est premier

F2 = 17 est premier

F3 = 257 est premier

F4 = 65537 est premier

F5 = 4294967297 = 6700417 × 641 × 1

F6 = 274177 × 67280421310721

F7 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

Grâce à l'algorithme de Brent Pollard j'ai décomposé ce nombre :

2^128+1 = 340282366920938463463374607431768211457(39) =
59649589127497217(17) * 5704689200685129054721(22) * 1 Temps en seconde(s) : 251151.280743

F8 = 1238926361552897 × P62 (P62 étant le premier nombre premier comptant 62 chiffres)

F9 = 2424833 × 7455602825647884208337395736200454918783366342657 × P99

F10 = 45592577 × 6487031809 × 4659775785220018543264560743076778192897 × P252

F11 = 319489 × 974849 × 167988556341760475137 × 3560841906445833920513 × P564

Propriétes des nombres de Fermat

pour tout n > 1, Fn = ( Fn−1 − 1 )² + 1 ou Fn = F²n−1 − 2( Fn−2 − 1)²

 


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