cours de mathématiques : somme des cubes des n premiers entiers

La somme des cubes des n premiers entiers

La suite des cubes des n premiers entiers est 1, 8 , 27, 64, 125, ... , n3. Elle peut encore s'écrire sous la forme 13, 23, 33, 43, ... , (n−1)3, n3.

Nous pouvons ainsi définir 4 suites Sn , Sn2 , Sn3 et Sn4.

Sn est la somme des n premiers entiers. Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... ... + n.

Sn2 est la somme des n premiers carrés. Sn2 = 12 + 22 + 32 + 42 + ... ... + n2.

Sn3 est la somme des n premiers cubes. Sn3 = 13 + 23 + 33 + 43 + ... ... + n3.

Sn4 la somme des n premières puissances quatrièmes. Sn4 = 14 + 24 + 34 + 44 + ... ... + n4.

Cherchons une formule pour la somme des n premiers cubes.

La méthode est identique à celle employée pour la somme des n premiers carrés, il faut utiliser le développement du terme (n + 1)4 qui donne :

(n +1)4 = (n +1) (n +1)3 = (n +1) (n3 + 3n2 + 3n + 1) = n4 + 4n3 + 6n2 + 4n + 1.

En appliquant cette formule à chaque cube de ( n + 1 ) à 1, on obtient les égalités suivantes :

( n + 1 )4 = n4 + 4n3 + 6n2 + 4n + 1

n4 = ( n − 1 )4 + 4 ( n − 1 )3 + 6 ( n − 1 )2 + 4( n − 1 ) + 1

...

...

( 2 )4 = ( 1 )4 + 4 ( 1 )3 + 6( 1 )2 + 4( 1 ) + 1

( 1 )4 = ( 0 )4 + 4 ( 0 )3 + 6( 0 )2 + 4( 0 ) + 1

En effectuant la somme membre à membre des égalités précédentes, en utilisant les notations définies plus haut, on obtient :

Sn+14 = Sn4 + 4Sn3 + 6Sn2 + 4Sn + n + 1

Il vient alors :

( n + 1 )4 = 4Sn3 + 6Sn2 + 4Sn + n + 1

4Sn3 = ( n + 1 )4 − 6Sn2 − 4Sn − n − 1

Or, Sn = 1 + 2 + ... + n = n ( n + 1 ) / 2 et 12 + 22 + 32 + 42 + ... ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1) / 6 .

Après toutes les simplifications possibles, on obtient :

4Sn3 = n2 ( n + 1 )2 .

La formule pour la somme des cubes des n premiers est donc :

13 + 23 + 33 + 43 + ... ... + n3 = n2 ( n + 1 )2 / 4

ou encore : 13 + 23 + 33 + 43 + ... ... + n3 = la formule de la somme des n premiers cubes .

On remarque alors que :

Sn3 = [ n ( n + 1 ) / 2 ]2 = [ Sn ]2 ( attention à ne pas confondre avec la notation définie plus haut Sn2 )

c'est-à dire que :

13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + 4 + ... + n)2

ou encore :La somme des n premiers cubes est égale à la somme des n premiers entiers élevé au carré

ou encore La somme des n premiers cubes est égale à la somme des n premiers entiers élevé au carré.

La somme des n premiers cubes est égale à la somme des n premiers entiers élevée au carré.

On pose : S2n3 = 23 + 43 + 63 + ... ... + (2n)3

On en déduit donc que la somme des cubes des n premiers entiers pairs est :

S2n3 = 23.13 + 23.23 + ... ... + 23.n3

S2n3 = 23 ( 13 + 23 + ... ... + n3 )

S2n3 = 8 × n2 ( n + 1 )2 / 4 = 2 × n2 ( n + 1 )2.

La somme des cubes des n premiers entiers pairs est :

23 + 43 + 63 + ... ... + (2n)3 = 2n2 ( n + 1 )2

ou encore : 23 + 43 + 63 + ... ... + (2n)3 = la somme des cubes des n premiers entiers pairs

On pose : S2n−13 = 13 + 33 + 53 + ... ... + ( 2n − 1 )3

De même, la somme des cubes des n premiers entiers impairs est

S2n−13 = 13 + 23 + 33 + 43 + ... ... + (2n)3 − [ 23 + 43 + 63 + ... ... + (2n)3 ]

S2n−13 = 4 n2 (2 n + 1 )2 / 4 − [ 2n2( n + 1 )2 ]

S2n−13 = n2 (2 n + 1 )2 − 2n2( n + 1 )2

S2n−13 = n2[ (2 n + 1 )2 − 2 ( n + 1 )2 ]

S2n−13 = n2 [ 4n2 + 4n + 1 − 2n2 − 4n − 2 ]

S2n−13 = n2 [ 2n2 − 1 ]

La somme des cubes des n premiers entiers impairs est :

13 + 33 + 53 + ... ... + ( 2n − 1 ) = n2 ( 2n2 − 1 )

ou encore : 13 + 33 + 53 + ... ... + ( 2n − 1 ) = la somme des cubes des n premiers entiers impairs .


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