cours de mathématiques : trouver la formule de la somme des puissances quatrièmes des n premiers nombres entiers

La somme des puissances quatrièmes des n premiers nombres entiers

La suite des puissances quatrièmes des n premiers nombres entiers est 1, 16, 81, ... , n4 . Elle peut encore s'écrire sous la forme 14, 24, 34, 44, ... ... , n4.

Nous notons Sn4 la somme des puissances quatrièmes des n premiers nombres entiers,

Sn4 = 14 + 24 + 34 + 44 + ... ... + n4.

Avec la même méthode que celle employée pour la somme des n premiers carrés ou des n premiers cubes (voir les pages : http://www.les-suites.fr/somme-des-n-premiers-carres.htm et http://www.les-suites.fr/somme-des-n-premiers-cubes.htm ) , c'est-à-dire en développant le terme (n + 1)5 ,

on obtient que :

Sn4 = n ( n + 1 ) ( 6n3 + 9n2 + n − 1 ) / 30 .

La formule pour la somme des puissances quatrièmes des n premiers nombres entiers est donc :

14 + 24 + 34 + 44 + ... ... + n4 = n ( n + 1 ) ( 6n3 + 9n2 + n − 1 ) / 30

ou encore : 14 + 24 + 34 + 44 + ... ... + n4 = la formule de la somme des puissances quatrièmes des n premiers nombres entiers.


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