cours de mathématiques : la somme des n premiers entiers naturels

La somme des n premiers entiers naturels, la somme des n premiers impairs.

Trouver la somme des 50 premiers entiers naturels non nuls.

La suite des nombres entiers est une suite arithmétique dont la raison est 1. La somme des 50 premiers nombres entiers non nuls est donc :

1 + 2 + ... + 49 + 50 = 50 × [ 1 + 50 ] ÷ 2 = 1275.

Gauss, enfant prodige, et la somme des 100 premiers entiers non nuls.

On raconte qu'entre 7 et 10 ans, Karl Gauss, mathématicien de génie, aurait trouvé une façon de calculer la somme des nombres entiers de 1 à 100 très rapidement, à la grande surprise de son professeur.

En effet, il remarqua que, en additionnant les premier et dernier termes, on obtenait 101, de même qu'en additionnant le deuxième et l'avant dernier, le troisième et l'avant avant dernier et ainsi de suite.

On obtient donc :

1 + 100 = 101

2 + 99 = 101

3 + 98 = 101

...

49 + 52 = 101

50 + 51 =101.

Cela donne 50 sommes toutes égales à 101. On obtient donc :

1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 = 50 × 101 = 5 050.

Il vient de même que la somme des n premiers entiers est égale à :

1 + 2 + 3 + ... ... + n = n ( n + 1 ) / 2

soit encore : formule de la somme des n premiers entiers

Trouver la somme des 50 premiers nombres impairs.

La suite des nombres impairs forme aussi une suite arithmétique, dont la raison est 2. Pour trouver la somme des 50 premiers nombres impairs, il faut d'abord connaître le 50ème terme ; il est égal à :

u50 = 1 + 2 ( 50 − 1) = 1 + 2 × 49 = 99.

La somme des extrêmes est égale à :

1 + 1 + 2 × 49 ou 2 + 2 × 49.

La somme des 50 premiers termes est donc :

1 + 3 + ... + 97 + 99 = [ ( 2 + 2 × 49 ) / 2 ] × 50 = ( 1 + 49 ) × 50 = 502.

Ainsi la somme des 50 premiers nombres impairs est égale au carré de 50. Il en est toujours ainsi, quel que soit le nombre de termes additionnés. Il vient donc :

La somme des n premiers nombres impairs est égale au carré de n.

1 + 3 + ... ... + (2n − 1) = n2

ou encore : somme des n premiers impairs

Démonstration

Pour tout n entier naturel non nul, on a : u1= 1 et un = 1 + 2 ( n − 1 ).

On pose :

Sn = u1 + u2 + ... + un

Sn = n × [ u1 + un ] / 2

Sn = n × [ 1 + 1 + 2 ( n − 1 ) ] / 2

Sn = n × [ 2 + 2 ( n − 1 ) ] / 2

Sn = n × 2 [ 1 + n − 1 ] / 2

Sn = n × n

On obtient que Sn = n2.

Vous pouvez retrouver la démonstration par récurrence de Sn = n2 sur le lien suivant : http://www.les-suites.fr/cours-suites-terminale-S/raisonnement-par-recurrence.htm .


webmaster - à propos - Copyright 2007-2016. Tous droits réservés.