cours de mathématiques : somme des carrés des n premiers entiers ( pairs et impairs )

La somme des carrés des n premiers entiers

La suite des carrés des n premiers entiers est 1, 4 , 9, 16, 25, ... , n2 − 2n + 1 , n2 . Elle peut encore s'écrire sous la forme 12, 22, 32, 42, ... , (n − 1)2 , n2.

Nous pouvons ainsi définir 3 suites Sn , Sn2 et Sn3.

Sn est la somme des n premiers entiers. Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... ... + n.

Sn2 est la somme des n premiers carrés. Sn2 = 12 + 22 + 32 + 42 + ... ... + n2.

Sn3 est la somme des n premiers cubes. Sn3 = 13 + 23 + 33 + 43 + ... ... + n3.

Cherchons une formule pour la somme des n premiers carrés.

Il faut utiliser le développement du terme ( n + 1 )3 qui donne :

(n + 1)3 = (n + 1) (n + 1)2 = (n + 1) (n2 + 2n + 1) = n3 + 3n2 + 3n + 1.

En appliquant cette formule à chaque cube de ( n + 1 ) à 1, on obtient les égalités suivantes :

( n + 1 )3 = n3 + 3n2 + 3n + 1

n3 = ( n − 1 )3 + 3 ( n − 1 )2 + 3( n − 1 ) + 1

( n − 1 )3 = ( n − 2 )3 + 3 ( n − 2 )2 + 3( n − 2 ) + 1

( n − 2 )3 = ( n − 3 )3 + 3 ( n − 3 )2 + 3( n − 3 ) + 1

...

...

( 3 )3 = ( 2 )3 + 3 ( 2 )2 + 3( 2 ) + 1

( 2 )3 = ( 1 )3 + 3 ( 1 )2 + 3( 1 ) + 1

( 1 )3 = ( 0 )3 + 3 ( 0 )2 + 3( 0 ) + 1

En effectuant la somme membre à membre des égalités précédentes, en utilisant les notations définies plus haut, on obtient :

Sn+13 = Sn3 + 3Sn2 + 3Sn + n + 1

Il vient alors :

Sn+13 − Sn3 = 3Sn2 + 3Sn + n + 1

( n + 1 )3 = 3Sn2 + 3Sn + n + 1

3Sn2 = ( n + 1 )3 − 3Sn − n − 1

Or, Sn = 1 + 2 + ... + n = n ( n + 1 ) / 2. D'où :

3Sn2 = ( n + 1 )3 − 3[ n( n + 1 ) / 2 ] − n − 1

6Sn2 = 2( n3 + 3n2 + 3n + 1 ) − 3n( n + 1 ) − 2n − 2

6Sn2 = 2n3 + 6n2 + 6n + 2 − 3n2 − 3n − 2n − 2

6Sn2 = 2n3 + 3n2 + n

6Sn2 = n( 2n2 + 3n + 1 )

6Sn2 = n( n + 1 )( 2n + 1 ).

La formule de la somme des carrés des n premiers entiers est donc :

12 + 22 + 32 + 42 + ... ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1) / 6

ou encore : 12 + 22 + 32 + 42 + ... ... + n2 = La formule de la somme des n premiers carrés .

On pose : S2n2 = 22 + 42 + 62 + ... ... + (2n)2

On en déduit donc que la somme des carrés des n premiers entiers pairs est :

S2n2 = 22.12 + 22.22 + 22.32 + ... ... + 22.n2

S2n2 = 22 × ( 12 + 22 + 32 + 42 + ... ... + n2 )

S2n2 = 22 × n ( n + 1 )( 2n + 1 ) / 6

S2n2 = 2n ( n + 1 )( 2n + 1 ) / 3.

La somme des carrés des n premiers entiers pairs est :

22 + 42 + 62 + ... ... + (2n)2 = 2n( n + 1 )( 2n + 1 ) / 3

ou encore : 22 + 42 + 62 + ... ... + (2n)2 = la somme des carrés des n premiers entiers pairs.

On pose : S2n−12 = 12 + 32 + 52 + ... ... + ( 2n − 1 )2

De même la somme des carrés des n premiers entiers impairs :

S2n−12 = 12 + 22 + 32 + 42 + ... ... + (2n)2 − [ 22 + 42 + 62 + ... ... + (2n)2 ]

S2n−12 = 2n( 2n + 1 )( 4n + 1 ) / 6 − [ 2n( n + 1 )( 2n + 1 ) / 3 ]

S2n−12 = 2n( 2n + 1 )[ 4n + 1 − 2( n + 1 ) ] / 6

S2n−12 = 2n( 2n + 1 )( 2n − 1 ) / 6

S2n−12 = n( 2n + 1 )( 2n − 1 ) / 3.

La somme des carrés des n premiers entiers impairs est :

12 + 32 + 52 + ... ... + ( 2n − 1 )2 = n( 2n − 1 )( 2n + 1 ) / 3

ou encore : 12 + 32 + 52 + ... ... + ( 2n − 1 )2 = la somme des carrés des n premiers entiers impairs.


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