suite de Cauchy

Les suites de Cauchy

Définition d'une suite de Cauchy

On dit qu'une suite U = (un) de réels ou de complexes est une suite de Cauchy si elle vérifie la propriété suivante, appelée critère de Cauchy :

Pour tout ε > 0, Il existe un réel N tel que pour tout couple de réels (p,q) , p ≥ N et q ≥ N on a : |up − uq| ≤ ε

ou encore ∀ ε > 0, ∃ N; ∀ (p,q) ∈² , p ≥ N et q ≥ N ⇒ |up — uq| ≤ ε .

Propriétés

1. Si une suite U = (un) de réels converge vers une limite finie λ, alors c'est une suite de Cauchy.

Démonstration :

Pour tout couple d'entiers n,k on a : |un+k − un| = |un+k − λ + λ − un| ≤ |un+k − λ| + |λ − un|

Soit un réel ε > 0, il existe un entier N à partir duquel pour tout n on a : |un − λ| ≤ ε/2 (déf de la convergence)

De là pour tout n ≥ N, on a aussi : |un+k − λ| ≤ ε/2 .

Conclusion : pour tout entier n ≥ N et pour tout entier k , on a :

|un+k − un| ≤ |un+k − λ| + |λ − un| ≤ ε/2 + ε/2 = ε .

2. Toute suite de Cauchy réelle, converge.

Exemple de suite de Cauchy

Soit la suite U = (un) définie par : u0 = a un réel et pour tout entier n, un+1 = (un + a/un)÷2

La suite U est une suite qui converge dans R vers √a, donc c'est une suite de Cauchy.

La valeur de a :

le rang :

 


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