cours de mathématiques : suite géométrique les nénuphars

Autre exemple de suite géométrique.

Une histoire de nénuphars

Voici un nénuphar que l'on plante dans un grand lac. Il possède la propriété héréditaire de produire chaque jour un autre nénuphar.

Il se trouve qu'au bout de 30 jours, la totalité du lac est recouverte par les descendants de ce nénuphar et que l'espèce entière meure étouffée, privée d'espace et de nourriture.

Essayez de répondre aux questions qui suivent sans lire les réponses.

Question 1 : la présentation de cette énigme se réduit souvent à cette seule question.

« Au bout de combien de jours les nénuphars ne couvraient-ils que la moitié du lac ? »

Une fois trouvée et comprise, la réponse à la première question, par extention nous pouvons nous posser les questions qui suivent.

Question 2 :

« Après combien de jours les nénuphars couvraient-ils à peine plus de 3% de la surface du lac ? »

Question 3 :

« Combien de nénuphars couvraient-ils la surface du lac au bout des 30 jours ? »

Les réponses.

Question 1

Le premier jour nous comptons 1 nénuphar, le second jour le premier un second nénuphar soit 2 nénuphars, le troisième jour le premier produit un nénuphar et le second produit un nénuphar soit 4 nénuphars ainsi de suite...

1er jour : on compte 1 nénuphar

2ème jour : on compte 2 nénuphars

3ème jour : on compte 4 nénuphars

Le nombre de nénuphars double chaque jour. Si au 30ème jour ils couvraient la totalité du lac 100%, le 29ème jour ils couvaient 50% du lac puisque 2 fois moins nombreux !

Question 2

En raisonnant de la même manière on trouve :

28ème jour les nénuphars couvrent 25% du lac

27ème jour les nénuphars couvrent 12,5% du lac

26ème jour les nénuphars couvrent 6,25% du lac

25ème jour les nénuphars couvrent 3,125% du lac.

Au 25ème jours les nénuphars ne couvraient qu'un peu plus de 3% du lac; ils s'étaient donc développés pendant 25 jours ne couvrant à peine plus de 3% de leur espace vital, quel nénuphar aurait pensé que leur espèce ne possédait plus seulement 5 jours d'espérance de vie et si parmi eux il s'en trouvait un plus clairvoyant aurait-il pu convaincre ses congénères de la nécessité d'un rapide changement.

Question 3

Il s' agit en fait d'une suite géométrique de raison égale à 2. En effet, on peut décrire l'évolution de la population des nénuphars comme suit :

u1 = 1

u2 = 2 = 21 × u1

u3 = 4 = 2 × u1 = 22 × u1

...

soit un = 2 × un-1 = 2n-1 × u1 de là un = 2n-1

on peut donc calculer u30 = 229 = 268 435 456 .


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