cours de mathématiques : suites géométriques

Suite géométrique

On appelle suite géométrique une suite de nombres telle que le quotient de deux consécutifs est constant.

Par exemple : le premier terme de la suite est 3, on le multiplie par 2, ce qui donne 6. On multiplie ensuite 6 par 2, ce qui donne 12, puis 12 par 2 ce qui donne 24 etc. La suite des nombres 3, 6, 12, 24... est une suite géométrique.

Le nombre constant par lequel on multiplie chaque terme pour avoir le suivant est appelé raison de la suite géométrique.

Vous trouverez à la page suivante une méthode pour déterminer la raison d'une suite géométrique.

Une suite géométrique est également appelée progression par quotient car le quotient de 2 termes consécutifs de cette suite est constant. On la désigne aussi comme progression géométrique.

Si la raison d'une suite géométrique est nulle, alors tous les termes de cette suite, à partir du deuxième rang, sont nuls.

Si la raison d'une suite géométrique est égale à 1, alors cette est constante (c'est-à-dire que tous les termes de la suite seront égaux au terme initial).

Pour tous les exemples qui suivront, on parlera d'une suite géométrique de raison q avec q ≠ 1 et q ≠ 0.

Formation d'un terme de rang quelconque d'une suite géométrique

Soit a le premier terme d'une suite géométrique ayant pour raison q avec q ≠ 1 et q ≠ 0.

Le 1er terme étant a, le 2ème est a × q ou aq, le 3ème est aq × q ou aq2, le 4ème aq2 × q ou aq3, etc.

On en déduit que le nième terme est a × qn−1.

Le nième terme d'une suite géométrique est égal au produit du premier terme par la raison élevée à la puissance (n−1).

Le nième terme de la suite est donc donnée par la formule suivante : aqn−1.

Par exemple, le 10ème d'une suite géométrique ayant pour premier terme 1 et pour raison 2, sera :

1 × 210−1 = 1 × 29 = 29 = 512.

Propriétés d'une suite géométrique

P1 : Soit (un) une suite géométrique de raison q. Soient n et p deux entiers naturels, nous avons :

un = qn−p up.

P2 : Les réels positifs non nuls a,b et c, dans cet ordre, sont 3 termes consécutifs d'une suite géométrique si et seulement si b est la moyenne géométrique de a et c, c'est-à-dire si b² = ac.


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