cours de première S sur les suites mathématiques : définitions, notations et mode de généralisation d'une suite réelle.

accueil / sommaire cours première S / définitions et notations mode de généralisation d'une suite

I Définition et notation mode de généralisation d'une suite

1°) Définition

Une application numérique u dont la source I est une partie de N dans R est appélée une suite numérique (ou à termes réels) définie sur I.

remarque : dans le cas d'une suite, la variable n est un entier naturel.

2°) Notation indicielle

I une partie de N

u est une suite numérique définie sur I, pour tout entier n élément de I (n entier naturel), u(n) = un et la suite u est notée u = (un)n∈I appelée suite de terme général un défini sur I (ou indexée par I).

remarque : dans cette écriture, n est une lettre muette (interchangeable) nous pouvons écrire u = (up) p∈I ou u = (uk) k∈I.

en pratique : nous prendrons comme partie I de N l'ensemble des entiers naturels superieurs ou égaux à un entier naturel donné m soit I = {n∈I / n≥m}.

La suite de terme général U définie sur I est alors notée u = (un)n≥m.

Les nombres um, um+1, um+2, um+3, um+4 sont les termes successifs de la suite :

um premier terme

um+1 deuxième terme

um+2 troisième terme ...

exemples :

- (un)n∈N = (un)n≥0 suite de premier terme u0

- (un)n∈N* = (un)n≥1 suite de premier terme u1

exemples :

- Soit la suite (un)n≥6 définie par un = √(3n−17). C'est l'application u de I = {6, 7, 8, 9, ...} dans ℜ l'ensemble des réels, qui a tout n élément de I correspond un = √(3n−17).

premier terme u6 = √(3 × 6 − 17) = 1

deuxième terme u7 = √(3 × 7 − 17) = 2

troisième terme u8 = √(3 × 8 − 17) = √7

Quelle sera la valeur du 99 ème terme ?

Pour répondre à cette question il faut connaitre l'indice du 99 ème terme, c'est-à-dire la valeur k telle que le 99 ème terme soit uk.

remarque : soient a,b deux entiers tels que a ≤ b le nombre d'entiers appartenant à l'ensemble [a,b] est égale à : (b − a+1). Donc étant donné la suite (un)n≥a, a entier donné de premier terme ua et k un entier naturel ≥ a, uk est le (k − a+1) ème de la suite.

Sur l'exemple, uk est le 99 ème terme si (k − a+1) = 99 alors (k − 6+1) = 99 et k = 104.

Le 99 éme terme u104 = √(3 × 104 − 17) = √295.

- Soit la suite (vp)p∈N défine par vp = p² + 3p;

c'est l'application :

N → ℜ

p → vp = p² + 3p

premier terme v0 = 0

deuxième terme v1 = 4

troisième terme v2 = 10

100 ème terme v99 = 10098

pour tout p ∈ N, calculer vp+1

vp+1 = (p+1)² + 3(p+1) = p² + 2p + 1 + 3p + 3 = p² + 5p + 4

vp+1 − vp = p² + 5p + 4 − (p² + 3p) = 2p + 4 > 0 pour p élément de N.

Pour tout n élément de N nous obtenons vn < vn+1, donc v0 < v1 < v2 < v3 < v4 < ...

La suite est dite strictement croissante.

Pout tout k entier ≥ 8, calculer v7k − 55 .

(vp n'a de sens que si p est superieur à 0 , donc 7k − 55 ≥ 0 d'où k ≥ 8)

v7k − 55 = (7k − 55)² + 3(7k − 55) = 49² − 749k + 2860.

3°) Mode génération d'une suite

Soit a un entier naturel fixé

Soit u = u(a)n≥0 une suite générateur de premier terme ua.

a) La suite peut être définie de maniére explicite, c'est-à-dire en donnant l'expression de un en fonction de n .

b) en pratique

ƒ étant une fonction numérique définie sur l'intervalle [a ; +∞[ de ℜ on pourra définir une suite (un)n≥a par tout entier n≥a tel que un = ƒ(n).

exemple :

Soit la suite (un)n≥a de terme général un = (n²−1)÷(n²+1). Soit la fonction définie sur ℜ par ƒ(x) = (x²−1)÷(x²+1), alors pour tout n élément de N, un = ƒ(n).

c) la suite peut être définie de manière récurrente

Nous pourrons définir de manière unique la suite (un)n≥a en se donnant la valeur du premier terme ua en donnant la condition pour tout entier n ≥ a un+1 = ƒ(un).

exemple :

La suite (un)n∈N est définie par u0 = 0 et pour tout tout entier n ≥ 0 un+1 = 3un − 2 (formule de récurrence).

Soit la fonction numérique ƒ définie sur ℜ par ƒ(x) = 3x − 2, nous avons ainsi pour tout entier n≥0 un+1 = ƒ(un).

u0 = 0

u1 = 3u0 − 2 = − 2

u2 = 3u1 − 2 = − 8

u3 = 3u2 − 2 = − 26

...

Pour tout entier n ≥ 2, calculons un en fonction de n+2.

un = 3un−1 − 2 = 3(3un−2 − 2) − 2 puisque un−1= 3un−2 − 2 d'après la formule de récurrence d'où on obtient :

un = 9un−2 − 8.

exercice :

Soit la suite (un)n∈N est définie par la relation suivante :

pour tout n ∈ N , un+1 = (un)² et u0 = 4.

Soit la fonction ƒ définie sur ℜ par ƒ(x) = x²

∀ n ∈ N, un+1 = ƒ(un)

u1 = ƒ(u0) = 4²

u2 = ƒ(u1) = (4²)² = 44

u3 = ƒ(u2) = (44)² = 48

u4 = ƒ(u3) = (48)² = 416

u5 = ƒ(u4) = (416)² = 432

u6 = ƒ(u5) = (432)² = 464

u7 = ƒ(u6) = (464)² = 4128

...

Pour tout n entier quelconque, calculer l'expression de un en fonction de n.

Il faut remarquer :

1 = 20 ; 2 = 21 ; 4 = 22 ; 8 = 23 ; ... 128 = 27 ;

Pour tout n ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} on a un = 4p où p est égale à 2n .

Essayons de démontrer que pour tout n entier, on a un = 4p où p est égale à 2n .

Raisonnons par récurrence

On note P(n) l'égalité (un = 4p) où p est égale à 2n énoncé dans laquelle la variable est n entier ≥ 0 .

i) P(0) est vrai car on a u0 = 41 et 1 = 20

ii) Soit n entier ≥ 0 tel que pout tout 0 ≤ k ≤ n , P(k) soit vrai donc par hypothèse un = 4p où p est égale à 2n .

P(n+1) est-il vrai ? c'est-à-dire a-t-on un+1 = 4p où p est égale à 2n+1 ?

On a :

un+1 = (un)² c'est la définition de la suite

d'où

un+1 = (4m)² où m est égale à 2n d'après l'hypothèse de récurrence

un+1 = 42m où m est égale à 2n on a 2m = 2 × 2n = 2n+1

un+1 = 4p où p est égale à 2n+1

P(n+1) est donc vrai.

Si n entier ≥ 0 est telque P(n) soit vrai alors nécessairement P(n+1) est vrai aussi.

Conclusion :

P(0) est vrai alors P(1) est vrai

P(1) est vrai alors P(2) est vrai

P(2) est vrai alors P(3) est vrai

etc

P(n) est donc vrai pour tout entier n ≥ 0 on a u(n) = 4p où p est égale à 2n pur tout n ∈ N .


webmaster - à propos - Copyright 2007-2016. Tous droits réservés.