cours de première S sur les suites mathématiques : limite de suite

accueil / sommaire cours première S / suites tendant vers −∞ et vers +∞

Les limites des suites

Soit a un entier naturel fixé, la suite U=(un)n≥a est une suite à termes réels de premier terme ua. U est une fonction de variable n entier naturel.

- dire "n tend vers −∞" est un non sens.

- dire "n tend vers √3" est un non sens.

- dire "n tend vers 5" est un non sens.

Nous ne parlons de limite de suite que pour n tendant vers +∞.

VI Suites tendant vers −∞ et +∞

1°) Définitions et exemples

Soit U=(un)n≥0 une suite définie par la relation un = n² .

Pour tout n ≥ 1 on a un ≥ n, d'où pour un ≥ 10 000 il suffit que n soit ≥ 10 000

et pour un ≥ 1099 , il suffit que n soit ≥ 1099.

On dit que un tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞.

a) Si l'on arrive à rendre un aussi grand que l'on veut dés qu'on prend n suffisament grand, on dit que la suite U=(un) tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞ ou que la suite U a pour limite +∞.

On notera :

limn→+∞ un = +∞

b) Une suite U=(un) tend vers −∞ lorsque la suite −U tend vers +∞

on a :

limn→+∞ un = −∞ ⇔ limn→+∞ (−un) = +∞

c) exemples

Les suites (n), (n²), (n3), (n4), ..., la suite (√n) et la suite (qn)avec q réel fixé >1 ont pour limite +∞

2°) théorèmes

a) Soit λ une constante réelle ≠ 0

si λ > 0 et limn→+∞ un = +∞ (respectivement −∞) alors limn→+∞ λun = +∞ (respectivement −∞).

si λ < 0 et limn→+∞ un = +∞ (respectivement −∞) alors limn→+∞ λun = −∞ (respectivement +∞).

b) S'il existe une fonction numérique ƒ définie sur [a; +∞[ telle que pour tout entier n ≥ a on a :

un = ƒ(n) et limx→+∞ ƒ(x) = +∞ (respectivement −∞) alors la suite (un)n≥a a pour limite +∞ (respectivement −∞).

c) Si 2 suites numériques (un)n≥a et (vn)n≥b sont telles que :

il existe un entier n0 tel que pour n≥n0 on a : u≥ vn et limn→+∞ vn = +∞ (respectivement limn→+∞ un =  −∞)

alors

limn→+∞ un = +∞ (respectivement limn→+∞ vn =  −∞).


- webmaster - partenaires - Copyright 2007-2012 . Tous droits réservés. - suite cours première S -